Batlamyus Teoremi: Öklid geometrisinde bir teorem

Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un (Claudius Ptolemaeus) adını almıştır. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.

Kirişler dörtgenin köşeleri sırayla ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ ve ${\displaystyle D}$ ise, teorem şunu belirtir:

${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|}$

Burada dikey çizgiler (| |) ile gösterim, adlandırılmış köşeler arasındaki çizgi parçalarının uzunluklarını belirtmektedir. Geometri bağlamında, yukarıdaki eşitlik genellikle basitçe şöyle yazılır:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}$

Bu ilişki sözlü olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Eğer bir dörtgen bir dairenin içine çizilebiliyorsa, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımı, karşıt kenarların çiftlerinin uzunluklarının çarpımlarının toplamına eşittir.

Dahası, Batlamyus teoreminin tersi de doğrudur:

Bir dörtgende, karşıt iki kenar çiftinin uzunluklarının çarpımlarının toplamı, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımına eşitse, bu dörtgen bir daire içerisine çizilebilir, yani bir kirişler dörtgenidir.

Eşkenar üçgen

 

Batlamyus Teoremi, sonuç olarak daire içine çizilmiş bir eşkenar üçgene ilişkin güzel bir teoreme ulaşmamıza imkan verir.

Verilen: Bir daire üzerine çizilmiş bir eşkenar üçgen ve daire üzerinde bir nokta.

Noktadan üçgenin en uzak köşesine olan mesafe, noktadan daha yakın iki köşeye olan mesafelerin toplamıdır.

İspat: Hemen Batlamyus teoremini takip edersek:

${\displaystyle qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.}$ 

Kare

Merkezi karenin merkezi olan bir daireye herhangi bir kare çizilebilir. Dört kenarının ortak uzunluğu ${\displaystyle a}$ 'ya eşitse daha sonra köşegenin uzunluğu ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$ 'ye eşittir. Pisagor teoremine göre ve bu ilişki açıkça geçerlidir.

Dikdörtgen

 

Daha genel olarak, eğer dörtgen, kenarları ${\displaystyle a}$  ve ${\displaystyle b}$  ve köşegenleri ${\displaystyle d}$  olan bir dikdörtgen verilirse, Batlamyus teoremi, Pisagor teoremine indirgenir. Bu durumda dairenin merkezi, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Bu durumda, köşegenlerinin çarpımı ${\displaystyle d^{2}}$  olarak bulunur. Batlamyus eşitliğine göre sağ taraftaki toplam ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ 'dir.

Trigonometrik çalışmasında Batlamyus'un teoremini yoğun bir şekilde kullanan Kopernik, bu sonuca bir 'Porizm' veya apaçık bir sonuç olarak atıfta bulunur:

Dahası, bir yayı oluşturan kiriş verildiğinde, yarım dairenin geri kalanını altta tutan kirişin de bulunabileceği açıktır (manifestum est).

Beşgen

 

Daha ilginç bir örnek, düzgün bir beşgendeki kenar uzunluğu ${\displaystyle a}$  ile 5 kirişin (ortak) uzunluğu ${\displaystyle b}$  arasındaki ilişkidir. Bu durumda ${\displaystyle b^{2}=a^{2}+ab}$  altın oranı veren ilişkidir:

${\displaystyle \varphi ={b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}$ 

Ongenin kenarı

 

Şimdi çap ${\displaystyle AF}$ , ${\displaystyle DC}$ 'yi ikiye bölerek çizilirse, böylece ${\displaystyle DF}$  ve ${\displaystyle CF}$ , daire içine çizilen bir ongenin ${\displaystyle c}$  kenarlarıdır, Batlamyus teoremi tekrar uygulanırsa bu kez, köşegenlerinden biri olarak ${\displaystyle d}$  çapına sahip kirişler dörtgeni ${\displaystyle ADFC}$ 'ye:

${\displaystyle ad=2bc}$ 

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$ , burada ${\displaystyle \varphi }$  altın orandır.
${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}.}$ 

böylece daire içine çizilen ongenin kenarı daire çapı cinsinden elde edilir. Dik üçgen ${\displaystyle \triangle AFD}$ 'ye uygulanan Pisagor teoremi, çap olarak ${\displaystyle b}$  uzunluğunu verir ve bundan sonra beşgenin kenarı ${\displaystyle a}$  olarak hesaplanır.

${\displaystyle a={\frac {b}{\varphi }}=b(\varphi -1).}$ 

Kopernik'in (Batlamyus'u izleyerek) yazdığı gibi,

"Verilen bir çemberin çapı, aynı çemberin çevrelediği üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve ongenin kenarları da verilmiştir."

Üçgenlerin benzerliği ile ispat

 

• ${\displaystyle ABCD}$  bir kirişler dörtgeni olsun.
• ${\displaystyle BC}$  kirişi üzerinde, çevre açıları ${\displaystyle \angle BAC}$  = ${\displaystyle \angle BDC}$  ve ${\displaystyle AB}$  üzerinde, ${\displaystyle \angle ADB=\angle ACB}$ 'dir.
• ${\displaystyle AC}$  üzerinde ${\displaystyle K}$  noktası ${\displaystyle \angle ABK=\angle CBD}$  olacak şekilde oluşturulursa; ${\displaystyle \angle ABK+\angle CBK=\angle ABC=\angle CBD+\angle ABD}$ , ${\displaystyle \angle CBK=\angle ABD}$ 'dir.
• Şimdi, ortak açılardan ${\displaystyle \Delta ABK}$ , ${\displaystyle \Delta DBC}$ 'ye benzer ve aynı şekilde ${\displaystyle \Delta ABD}$  de ${\displaystyle \Delta KBC}$ 'ye benzer.
• Böylece ${\displaystyle {\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}}$  ve ${\displaystyle {\frac {CK}{BC}}={\frac {DA}{BD}}}$ 'dir; eşdeğer olarak, ${\displaystyle AK\cdot BD=AB\cdot CD}$  ve ${\displaystyle CK\cdot BD=BC\cdot DA}$ 'dır.
• İki eşitlik birbirine ekleyerek ${\displaystyle AK\cdot BD+CK\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA}$  elde ederiz ve bunu çarpanlara ayırmak suretiyle ${\displaystyle (AK+CK)\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA}$ 'yı elde ederiz.
• Ancak ${\displaystyle AK+CK=AC}$ 'dır, dolayısıyla ${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA}$ 

QED

Yazıldığı şekliyle ispat yalnızca basit kirişler dörtgenleri için geçerlidir. Dörtgen kendi kendine kesişiyorsa ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle AC}$  çizgi parçasının dışında yer alacaktır. Ancak bu durumda ${\displaystyle AK-CK=\pm AC}$ , beklenen sonucu verir.

Trigonometrik özdeşliklerle ispat

${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$  ve ${\displaystyle CD}$  tarafından oluşturulan çevre açılar sırasıyla ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$  ve ${\displaystyle \gamma }$  ve çemberin yarıçapı ${\displaystyle R}$  olsun. O zaman,

${\displaystyle AB=2R\sin \alpha }$ ,
${\displaystyle BC=2R\sin \beta }$ ,
${\displaystyle CD=2R\sin \gamma }$ ,
${\displaystyle AD=2R\sin(180-(\alpha +\beta +\gamma ))}$ ,
${\displaystyle AC=2R\sin(\alpha +\beta )}$  ve
${\displaystyle BD=2R\sin(\beta +\gamma )}$ 

olur ve kanıtlanacak orijinal eşitlik aşağıdaki hale dönüşür;

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )}$ 

denklemin her iki tarafı da ${\displaystyle 4R^{2}}$  çarpanına bölünerek sadeleşti.

Şimdi toplam formüllerini kullanarak,

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y}$  ve
${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$ 

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının da eşit olduğunu göstermek basittir.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma \\+{}&\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma .\end{aligned}}}$ 

Q.E.D

Evirtim ile ispat

 

${\displaystyle ABCD}$ 'nin çevrel çemberi bir doğruya evirtildiğine (şekle bakın) göre merkezi ${\displaystyle D}$  olan yardımcı bir ${\displaystyle \Gamma }$  dairesi seçin. Sonra ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'}$  olur. Genelliği kaybetmeden ${\displaystyle \Gamma }$ 'nin yarıçapını ${\displaystyle 1}$  alalım. Sonra ${\displaystyle A'B',B'C'}$  ve ${\displaystyle A'C'}$  sırasıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir;

${\displaystyle {\frac {AB\cdot DB'}{DA}}}$ , ${\displaystyle {\frac {BC\cdot DB'}{DC}}}$ , ${\displaystyle {\frac {AC\cdot DC'}{DA}}}$ 

Önceki ilişkiyi ${\displaystyle {\frac {DA\cdot DC}{DB'}}}$  ile çarpar ve ${\displaystyle {\frac {DC'}{DB'}}={\frac {DB}{DC}}}$  eşitliğini kullanırsak Batlamyus'un eşitliğini elde ederiz.

Q.E.D.

Dörtgen kirişler dörtgeni değilse, ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle B'}$  ve ${\displaystyle C'}$ 'nün bir üçgen oluşturduğuna ve dolayısıyla ${\displaystyle A'B'+B'C'>A'C'}$  olduğuna dikkat edin, bize aşağıda sunulan Batlamyus Eşitsizliğinin çok basit bir kanıtı verir.

Karmaşık sayılar kullanarak ispat

ABCD ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ 'de bir daire etrafında saat yönünde ${\displaystyle A\mapsto z_{A},\ldots ,D\mapsto z_{D}}$  ${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}\in \scriptstyle \mathbb {C} }$  olacak şekilde düzenlensin. Karmaşık bir sayının kutupsal formundan ${\displaystyle z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}}$  yazılabilir. Buradan da,

${\displaystyle \angle ABC=\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B}){\pmod {2\pi }},\quad }$  ve
${\displaystyle \angle CDA=\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D}){\pmod {2\pi }}}$  elde edilir.

Kirişler dörtgeni içindeki zıt açılar toplamı ${\displaystyle \pi }$  olduğundan,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\pi +\angle ABC+\angle CDA{\pmod {2\pi }}\\&=\arg(-1)+\left[\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B})\right]+\left[\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D})\right]{\pmod {2\pi }}\\&=\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right]-\arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right].\end{aligned}}}$ 

Bu nedenle, ${\displaystyle \varphi =-\arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right]=-\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right],}$  Böylece

${\displaystyle \left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|=(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})e^{i\varphi },\quad }$  ve
${\displaystyle \left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|=(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})e^{i\varphi }}$  olur.

Dolayısıyla,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}&=\left|z_{A}-z_{B}\right|\left|z_{C}-z_{D}\right|+\left|z_{A}-z_{D}\right|\left|z_{B}-z_{C}\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|+\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})e^{i\varphi }+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})e^{i\varphi }\\&=(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})e^{i\varphi }\\&=\left|(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})e^{i\varphi }\right|\\&=\left|z_{A}-z_{C}\left|\right|z_{B}-z_{D}\right|\left|e^{i\varphi }\right|\\&={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\end{aligned}}}$ 'dir.

Burada üçüncü ila son eşitlik, niceliğin zaten gerçek ve pozitif olduğu gerçeğinden kaynaklanır. Q.E.D.

 

 

Birim çaplı bir dairede olması durumunda, herhangi bir ${\displaystyle ABCD}$  kirişler dörtgeninin kenarları ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ , bu kenarlar tarafından oluşturulan ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$  ve ${\displaystyle \theta _{4}}$  açıların sinüslerine sayısal olarak eşittir. Benzer şekilde, köşegenler, hangi açı çiftini oluşturursa oluştursunlar, sinüslerinin toplamının eşittir. Daha sonra Batlamyus Teoremini aşağıdaki trigonometrik biçimde yazabiliriz:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$ 

Oluşturulan ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$  ve ${\displaystyle \theta _{4}}$ açılarına belirli koşulları uyguladığımızda, yukarıdakileri başlangıç noktamız olarak kullanarak bir dizi önemli sonuç çıkarmak mümkündür. Aşağıdakilerde, açıların toplamının ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }}$  olduğunu akılda bulundurmak faydalı olacaktır.

Sonuç 1. Pisagor teoremi

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{3}}$  ve ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$  olsun. Sonra ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$  (çünkü kirişler dörtgeninin zıt açıları bütünlerdir). Ardından: ${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$ 

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})}$ 

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1}$ 

Sonuç 2. Kosinüs yasası

 

${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$  olsun. Sonuç 1'in dikdörtgeni şimdi eşit köşegenlere ve bir çift eşit kenara sahip simetrik bir yamuktur. Paralel kenarların uzunlukları ${\displaystyle 2x}$  birim farklılık gösterir. Burada:

${\displaystyle x=S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})}$ 

olup, bu durumda Batlamyus teoreminin standart ifadesine dönmek daha kolay olacaktır:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}S_{1}S_{3}+S_{2}S_{4}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\\\Rightarrow S_{1}S_{3}+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow S_{1}[S_{1}-2S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})]+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow {S_{1}}^{2}+{S_{2}}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\overline {AC}}^{2}\\\end{array}}}$ 

ABC üçgeninin kosinüs kuralı.

Sonuç 3. Sinüs toplam formülü

${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$  olsun.

Sonra

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$ 

Bu nedenle,

${\displaystyle \cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\times 1}$ 

Sinüs toplam formülü elde edilir.

Sonuç 4. Sinüs fark formülü

${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ }}$  olsun. Sonra,

${\displaystyle \theta _{2}+(\theta _{3}+\theta _{4})=90^{\circ }}$ .

Dolayısıyla,

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$ 

${\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}}$ 

${\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\sin \theta _{2}}$ 

Sinüs fark formülü elde edilir.

Bu türetme, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Üçüncü Teoreme karşılık gelir. Özellikle, bir beşgenin (çevresindeki dairede 36° ile oluşturulan) ve bir altıgenin (çevresindeki dairede 30° ile oluşturulan) kenarları verilirse, 6° ile oluşturulan bir kiriş hesaplanabilir. Bu, kiriş tablolarını hesaplamanın eski yönteminde kritik bir adımdı.

Sonuç 5. Kosinüs toplam formülü

Bu sonuç, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Beşinci Teoremin özüdür.

${\displaystyle \theta _{3}=90^{\circ }}$  olsun. Sonra${\displaystyle \theta _{1}+(\theta _{2}+\theta _{4})=90^{\circ }}$ . Bu nedenle

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$ 

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}}$ 

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}}$ 

Kosinüs toplam formülü elde edilir.

Modern trigonometrik notasyonumuzun becerisinden yoksun olmasına rağmen, yukarıdaki sonuçlardan, Batlamyus teoreminde (veya daha basitçe İkinci Teoremde) antik dünyanın emrinde son derece esnek ve güçlü bir trigonometrik araca sahip olduğu anlaşılmalıdır. Doğru kiriş tabloları (sinüs tablolarına karşılık gelen) hazırlamak ve bunları kozmosu gördükleri gibi anlama ve haritalama girişimlerinde kullanmak için. Kiriş tabloları Hipparchus tarafından Batlamyus'tan üç yüzyıl önce hazırlandığı için, 'İkinci Teorem'i ve türevlerini bildiğini varsaymalıyız. Eski gök bilimcilerin izinden giden tarih, İskenderiyeli Timocharis'in yıldız kataloğunu kaydeder. Muhtemel göründüğü gibi, bu tür katalogların derlenmesi 'İkinci Teorem'in anlaşılmasını gerektiriyorsa, o zaman ikincisinin gerçek kökenleri daha sonra antik çağın sisleri arasında kaybolur, ancak eski Mısırın gök bilimcilerin, mimarların ve inşaat mühendislerinin bu konuda biraz bilgi sahibi olduğunu varsaymak mantıksız olamaz.

 

Batlamyus teoremindeki denklem, kirişler dörtgeni olmayan dörtgenlerde asla doğru değildir. Batlamyus eşitsizliği bu gerçeğin bir uzantısıdır ve Batlamyus teoreminin daha genel bir biçimidir. Bir ${\displaystyle ABCD}$  dörtgeni verildiğinde,

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$ 

burada eşitlik, ancak ve ancak dörtgen kirişler dörtgeni ise geçerlidir . Bu özel durum, Batlamyus teoremine eşdeğerdir.

${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}}$ 

Batlamyus teoremi, kenarları bilinen bir kirişler dörtgeninin köşegenlerin çarpımını verir. Yukarıdaki özdeşlik ise oranlarını verir.

İspat : Bir çevrel çember içine çizilen ${\displaystyle ABC}$  üçgenin alanı, ${\displaystyle R}$  çap olmak üzere:${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}}$ 'dir.

Dörtgenin alanını aynı çevrel çemberi paylaşan iki üçgenin toplamı olarak yazdığımızda, her ayrışma için iki ilişki elde ederiz.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{top}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}+{\frac {CD\cdot DA\cdot AC}{4R}}={\frac {AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}}}$ 

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{top}}={\frac {AB\cdot BD\cdot DA}{4R}}+{\frac {BC\cdot CD\cdot DB}{4R}}={\frac {BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}}}$ 

Denkleştirerek, açıklanan formülü elde ederiz.

Sonuç : Köşegenlerin hem çarpımını hem de oranını bildiğimizde, bunların anlık ifadelerini çıkarıyoruz:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AC\cdot BD\cdot {\frac {AC}{BD}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}\\[8pt]BD^{2}&={\frac {AC\cdot BD}{\frac {AC}{BD}}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot DA+BC\cdot CD}}\end{aligned}}}$ 

• Casey teoremi
• Yunan matematiği