Teorema De Ptolomeo

El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

${\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}$

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

Demostración geométrica

 

1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ahora, por ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
4. Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
   1. Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
   2. Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es válida solo para cuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe una generalización de este teorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.

El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométrica con respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.​

 

Considérese un pentágono regular y la circunferencia circunscrita al mismo. En el cuadrilátero ABCD las diagonales son iguales al lado AD. El teorema de Ptolomeo arroja en este caso,

${\displaystyle b^{2}=ab+a^{2}.\ }$ 

Dividiendo entre ${\displaystyle a^{2}}$  se tiene

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=1+{\frac {b}{a}}.\ }$ 

Denotando con ${\displaystyle \varphi }$  la razón b/a se obtiene ${\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$ , ecuación que coinicide con la definición del número áureo.

${\displaystyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}$ .

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• . Wolfram Research.