ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

6936 = 2³ · 3 · 17²   หรือ   1200 = 2⁴ · 3 · 5²

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นอย่างอื่น ถ้าเราไม่สนใจลำดับของตัวประกอบ

เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบที่สนใจเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น หากเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น ${\displaystyle 12=2\cdot 6=3\cdot 4}$

ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น ${\displaystyle 2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots }$

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมไปถึงโดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และริงพหุนามเหนือฟีลด์ ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาซับซ้อน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำราเอเลเมนส์ของยุคลิด ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่อัล-ฟาริสีเป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)

เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์

รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก

ทุกจำนวนเต็มบวก n > 1 สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}}$ 

เมื่อ p₁ < p₂ < ... < p_k เป็นจำนวนเฉพาะ และ n_i เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ k = 0)

การเขียนแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ (canonical representation) ของ n หรือรูปแบบมาตรฐาน (standard form) ของ n ตัวอย่างเช่น

999 = 3³×37,
1000 = 2³×5³,
1001 = 7×11×13.

สามารถเพิ่มตัวประกอบ p⁰ = 1 โดยไม่เปลี่ยนค่าของ n (ตัวอย่างเช่น 1000 = 2³×3⁰×5³) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก

${\displaystyle n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod _{i=1}^{\infty }p_{i}^{n_{i}},}$ 

โดยมี n_i เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์

หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ

การดำเนินการทางเลขคณิต

รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots &&=\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\\\gcd(a,b)&=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},\\\operatorname {lcm} (a,b)&=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})}.\end{alignedat}}}$ 

อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

ฟังก์ชันเลขคณิต

ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

การมีอยู่

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดยหลักการจัดอันดับดี ให้จำนวนนั้นคือ ${\displaystyle n}$  จะเห็นได้ว่า ${\displaystyle n}$  ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ ${\displaystyle n}$  คือผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น ${\displaystyle n}$  จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

${\displaystyle n=ab}$ 

เมื่อ ${\displaystyle a}$  และ ${\displaystyle b}$  เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า ${\displaystyle n}$  แต่ ${\displaystyle n}$  เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น ${\textstyle a=p_{1}\dotsb p_{j}}$  และ ${\displaystyle b=q_{1}\dotsb q_{j}}$  ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า

${\displaystyle n=ab=p_{1}\dotsc p_{j}q_{1}\dotsc q_{k}}$ 

ฉะนั้น ${\displaystyle n}$  เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

การเขียนได้แบบเดียว

เราจะใช้บทตั้งของยุคลิดที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์

พิจารณาการแยก ${\displaystyle n}$  ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ ${\textstyle p_{1},\dotsc ,p_{j}}$  และ ${\textstyle q_{1},\dotsc ,q_{k}}$  สองแบบ

${\textstyle n=p_{1}\dotsb p_{j}=q_{1}\dotsb q_{k}}$ 

จะเห็นว่า ${\displaystyle p_{1}}$  จะหาร ${\displaystyle q_{1}\dotsb q_{k}}$  ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด ${\displaystyle p_{1}}$ จะต้องหารตัวประกอบ ${\displaystyle q_{i}}$  ในผลคูณ ${\displaystyle q_{1}\dotsb q_{k}}$  ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น ${\displaystyle q_{1}}$  แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น ${\displaystyle p_{1}}$  จะต้องเท่ากับ ${\displaystyle q_{1}}$  ดังนั้นเราจึงตัด ${\displaystyle p_{1}}$  และ ${\displaystyle q_{1}}$ ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า

${\displaystyle p_{2}\dotsb p_{j}=q_{2}\dotsb q_{k}}$ 

และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด

หนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน

• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), แปลโดย Clarke, Arthur A., New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition) (ภาษาเยอรมัน), แปลโดย Maser, H., New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.

• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, vol. 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath (Second Edition Unabridged ed.), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950.
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766.
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
• Weil, André (2007) [1984], Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6

• การแยกตัวประกอบ

• Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
• GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
• PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
• Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
• "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Grime, James, "1 and Prime Numbers", Numberphile, Brady Haran, เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2021-12-11