算術

算術者，數學之基也，他支皆附於此。眾生均用之。乃數及運算之法也。 算術之始，不可考。西元前六世紀，已有算術也。 古，多以算盤為械，輔以算。俟電腦生，多以其為算具。 算術運算多矣，其基者，加、減、乘、除也。 二數相合，是謂加。多數相合，堆壘其上，乃重加也。表記者， + {\displaystyle +}……

故有學科，曰「算術」者，乃與今「數學」一也。然今有別矣，數學者，涵蓋之廣，算術實隸之也。 中國之數學，乃重實用，歷時久遠，算術為主。 數學之余華夏者，三皇之世有之矣。 若夫周公之世，乃設六藝，其六曰「數」，同時周公之友商高，有「句廣三，股脩四，弦徑五」之說。春秋之時，籌算普及，逢十進位。至于漢初，撰《算術……

埃爾溫.隆美爾，一八九一年生，海登海姆人。父教算術，祖父從師，均以算術為名。父母皆信基督。年少體弱。年七歲，父為阿倫文科中學校長，舉家居阿倫。年九歲，初成績不佳，後上進。望為飛機工程師，父不允，望其赴符騰堡王國參軍，隆美爾所不好也。 年十九，入符騰堡皇家陸軍，任下級軍官候補生。年二十，入但澤皇家軍官……

集論者，當世算術之本也。凡數學之物，殆必為集。若夫光大其者，乃德意志疇人康托爾（Georg Cantor）耳。 一八七四年，康托爾撰文曰：「夫實數集者，不可一一對應自然數集，故實數遠多於自然數耳。」遂始集論之學。 文出，訿譽參半。訿者曰：「數，有限之量也；以有限之理則，論無限之事，誠不可也。」……

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 算術基本定理，亦名質數唯一分解定理。其文曰：自然數之大於一者，皆可析作諸質數之積，且其途惟一也。 泰西疇人歐基里得先證之也，略述如下：……

年十七，司徒辟，詔除黃門侍郎，以西京擾亂，皆不就。乃之荊州依劉表。表卒。粲勸表子琮，令歸曹操。操辟為丞相掾，賜爵關內侯。後遷軍謀祭酒。 魏國既建，拜侍中。博物多識，問無不對。性善算，作算術，略盡其理。善屬文。著詩、賦、論、議垂六十篇。建安二十一年，從征吳。二十二年春，道病卒，時年四十一。 粲二子，為魏諷所引，誅。後絕。……

席，以至於終。一六九六年任造幣廠監督，越三年，除廠長。一七〇五年，因功封爵士。一七二七年三月卅一日，因腎疾終，年八十五，葬於西敏寺。 終其一生，所涉廣甚，舉凡哲學、數學、物理、煉金術、神學等，盡覽無遺，遺稿百餘萬言，為世所重。所著《流數法》、《自然哲學之數學原理》、《光學》、《廣義算術》，並行於世。……

地圖，以算術之法而畫，而後從簡誌符，自然、人文，悉載紙上。地者，輿也。故古亦謂之輿圖。昔者地圖悉二維，特載其縱橫而已。後亦有三維之地圖，載乎計算機。地圖既刊，車輿船艦可以行，商賈貿易可以通。 地圖源始，蓋可溯至石世。地圖之雛形，見於安納托利亞之域，在土爾其南，其時蓋公元前六千年。今地圖純爲格致之學。……

摧，業敗門衰。祖操醫術，聞乎佛羅倫薩，父亦聰慧，尤工樂律，諳籌術，通外語數種，履聘於外，終不得命，家計不濟，終日苦厄，寄望於子。伽氏少而敦敏，格致、算術、馮相、哲道諸門無所不通，所作論說，延於今日，以比世格致之先者稱。礪璿璣，躬自觀測，悉察金星之盈虧、木星環塵，並總其要。又究體溫，創溫度計。開天彝之道，治彝理，論說詳備，以履踐為本務。……

手算開方者，算術也。 或問：毋論中原泰西，古人無電算盤，何以算開方？ 答曰：可以直式算之。 先置待開方之數於根號中。自小數點，毋論左右，逢二位分之。若小數位之位數奇數也，補零末位。 分畢，求某數，其平方窮大，遜於首組數，記之上。某數平方於首組數差，記之下，乘以一百。……

，任教柏林大學，執德國數學之牛耳。善理則，世譽為直觀主義先驅；然直觀主義者，結構論也，謂存在證明不合理則。曰：「神作整數，他者皆人為耳。」，故分析、算術始於整數。由是，病超越數、無處可微連續函數，尤惡集論，致與門生康托爾反目。 克氏善數論、分析，立克羅內克函數、克羅內克積、克羅內克－韋伯定理、克羅內克定理、克羅內克引理。……

於理則與數學，公理不必為不證自明者，於是公理為演繹所生者之形式邏輯表達式。若欲公理化一知識系，明其所言皆可由一相互獨立之句之集而得。此不意其已獨立為知；而存多法以公理化一知識系(如算術)焉。又數學家分邏輯公理和非邏輯公理也。 古有歐幾里德幾何五公理，為古希臘幾何之精髓；歐幾里德自之推導十三卷《幾何原本》論平面、立體、比、數。  公理一文似未成。宜善之。……

基本不等式者，又云算幾不等式，算術-幾何不等式，所以究平均數之不等性也。曰：正數若干，其算均小於幾均或等之。若等之，必然各數一致。 算均者，以和商取均也；幾均者，以積方取均也。式曰 a+b2⩾ab,a,b∈[0,+∞){\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt……

合數，於一與其本身外，尚可為他數整除之自然數也。自然數較一大而非合數者，名曰質數。 於二之外，偶數皆合數。依算術基本定理，合數可析為若干質數之積，且其途唯一。 合數，其最小者四也；威爾遜定理曰：合數之大於五者，皆整除其減一之數之階乘 ( A ∣ ( A − 1……

C，……}）；若為合數，則子必不可為前所計之諸質數累積整除，蓋其必余一也（MOD(Z-1，C)＝1），則任取甲、乙、丙……諸質數亦不可整除之也。又據算術基本定理，可析合數為若干質數之積，且其途惟一，故得有質數别乎甲、乙、丙諸數者，積之以為子也。則亦得有質數外乎甲乙丙諸數者也。是初設謬也，故得質數之無窮也。……

，非十月也。”又謂雅曰：“高允之術，陽元之射也。”眾乃嘆服。後拜中書令，著作如故。太和二年，以疾告歸。其年徵拜鎮軍大將軍，領中祕書事。十一年正月卒，年九十八，贈侍中、司空公、冀州刺史、將軍、公如故，謚曰文。允明算法，為《算術》三卷。 《魏書》本傳 《北史》本傳 《疇人傳》  高允一文似未成。宜善之。……

，力學績優。與師同名，故師易其名，曰凱末爾·穆斯塔法。一八九五年，赴瑪納斯提軍事預備校。一八九九年，進伊斯坦堡軍官校。一九〇二年入哈拜參謀學院，長於算術，故獲稱「凱末爾」，阿拉伯語謂之「完善」。一九〇五年卒業，授上尉。 後凱氏以政事有變，見逐於蘇丹阿卜杜勒·哈米德二世，遂至大馬士革股役。一九一一年因……

論曰：《算經》載時務云，十乘加一等，百乘加二等，十除退一等，百除退二等，此即《大統通軌》所謂『十定一子、百定二子』者是也。其算術皆淺顯易知，切于日用。于官曹典故，其說尤 詳，洵足為考古之助矣。舊以夏侯陽為隋人，以張邱建有夏侯陽、方倉之語，斷為夏侯陽以後人。……

，北極下地高於外衡下地亦六萬里，外衡高於北極下地二萬里。天地隆高相從，日去地恆八萬里。日麗天而平轉，分冬夏之間日所行道為七衡六間。每衡周徑裏數，各依算術，用句股重差推晷影極遊，以為遠近之數，皆得於表股者也。 又《周髀》云：「天圓如張蓋，地方如棋局。天旁轉如推磨而左行，日月右行，隨天左轉，故日月實東行……

為語，以述其事，以表其詳。人戲者其中戰事，為戰棋也。戰棋者，佈方格棋盤，依其戲飾諸山川城池，置人物於上，敵我分明。戲者持子與電腦搏弈廝殺，得失有方，算術計之。諸子人形，戲中人也。各有其性，一如象棋，其中複雜，謂力、謂智、謂捷、謂五行者，皆以數計。各配兵器，其強弱相剋，亦以數計。其數以限局內進退，以算……