矢量空間

矢量空間者，歐基里德空間之引伸也，亦曰線性空間、向量空間，究之者，線性代數也。 矢量空間者，交換群（V ）也，其物曰矢量或向量，合一域（Ｆ），曰標量域，其物曰標量；並有標量乘法。標量乘法者，標量乘矢量得矢量（F × V → V，(r,v)→ rv ），必以下是從： 標量甲乘矢量乙丙之和，同乎甲乙積加甲丙積（「r(x+y)……

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 範空間，範之所也。夫範，物之長也。 範空間者，實矢量空間或複矢量空間也，凡物（「x」）必有一數，曰範（「‖x‖{\displaystyle \|x\|}」）。凡範者，必以下是從：……

生成者，合乎律之最小也。 集甲（A）生矢量空間乙（B）者，乙乃含甲之最小矢量空間也，曰甲生成矢量空間（「記曰⟨A⟩{\displaystyle \langle A\rangle } 或 span(A)」 ）。凡集含甲而小於乙者，必非矢量空間也。 集甲生域乙者，乙乃含甲之最小域也，曰甲生成域。……

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 模者，矢量空間之引伸也。 左模者，交換群（M）也，合一環（R），曰標量環，其物曰標量，並有標量乘法。標量乘法者，標量乘群中物得群中物（R × M → M, (r,m)→ rm……

漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 代數，亦曰域代數，有矢量乘法之線性空間也。然代數者，可指矢量乘法合結合律者，即結合代數也。 代數者，矢量空間也，有一矢量乘法，且： 矢量和，矢量乘，合分配律也。（「x(y+z)=xy+xz{\displaystyle \mathbf……

故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。 內積空間，內積之所也。夫內積者，關乎角也。凡二物所交之角，可由內積知之。 內積空間者，可分複實。 實內積空間者，實矢量空間也，凡二物之間必有一數，曰內積（「[x,y]」）。凡內積者，必以下是從： 物與己之內積，非負也。唯零者，零也。（「[x……

結合代數者，有矢量乘法之模也，然其乘法合結合律也。 結合代數者，模也，其標量環為交換環，並有模乘法，合： 模合加法，乘法，環也。 凡標量甲（a）與模之物丙（x）丁（y），有甲丙積乘丁，同乎甲乘丙丁積也（「(ax)(y)=a(xy)。」） 若標量環為域，即模為矢量空間者，曰域代數也。 若模乘法有單位元「一」者，曰環代數也。……

範代數，有乘法之範代數也。夫範，物之長也。 範代數者，範空間也，有一矢量乘法，合 矢量之加法，乘法，環也。 凡數甲（a）與矢量丙（x）丁（y），皆有甲丙積乘丁，同乎甲乘丙丁積也（「(ax)(y)=a(xy)。」） 矢量相乘之範，少于矢量之範相乘耳。（「‖xy‖≤‖x‖‖y‖{\displaystyle……

半徑為一之圓，弧長為一者，所應之角為一弧度。故平角之弧度同乎圓周率，一周天之弧度等於二乘圓周率。疇人多用此法，蓋益處良多。 欲求角之定義，殊非易事。有一法，使線段為一矢量，以兩線段之內積定義夾角。詳見內積空間一文。 幾何術語 點｜ 頂點｜ 相切｜ 線｜ 直線｜ 曲線｜ 測地線｜ 切線｜ 圓錐曲線｜ 拋物線｜ 雙曲線｜ 螺線｜ 螺旋 ｜……