Generaliserat Medelvärde

Ett generaliserat medelvärde av de positiva talen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n}}$  är av formen

${\displaystyle M_{p}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}x^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}}$ 

Eftersom

${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$ 

brukar man definiera

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$ 

Ett generaliserat medelvärde är strikt, homogent, och symmetriskt.

${\displaystyle M_{p}({\bar {x}})=\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}\|{\bar {x}}\|_{p}}$ .

Några specialfall:

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$  - Minimum
• ${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$  - Harmoniskt medelvärde
• ${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$  - Geometriskt medelvärde
• ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$  - Aritmetiskt medelvärde
• ${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$  - Kvadratiskt medelvärde
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$  - Maximum

Om ${\displaystyle p$  gäller

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ .

En följd av detta är:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}\geq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$