Harmoniskt Medelvärde

Diskret fördelning

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva reella talen x₁, x₂, ..., x_n är definierad som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av reciprokerna till x₁, x₂, ..., x_n:

${\displaystyle H=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}\right)^{-1}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}.}$ 

Exempel

Det harmoniska medelvärdet av 1, 2, och 4 är

${\displaystyle {\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{3}}({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})}}={\frac {12}{7}}=1.{\overline {714285}}}$ 

Kontinuerlig fördelning

För en kontinuerlig fördelning är det harmoniska medelvärdet

${\displaystyle H={\cfrac {1}{\int {\cfrac {1}{x}}f(x)\,dx}}}$ 

Viktat harmoniskt medelvärde

Om en mängd av vikter ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n}}$  är associerad med en datamängd ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ , definieras det viktade harmoniska medelvärdet som

${\displaystyle {\cfrac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {w_{i}}{x_{i}}}}}}$ 

Det harmoniska medelvärdet kan ses som ett specialfall med vikterna = 1.

Harmoniskt medelvärde används inom andra vetenskaper som till exempel elektrofysik och geologi. Inom geologin används harmoniskt medelvärde för bestämning av vattengenomsläppigheten i olika jordarter.

Antag att en person färdas sträckorna s₁,..., s_n med hastigheterna v₁,..., v_n. Genomsnittshastigheten v för hela resan ges av det viktade harmoniska medelvärdet

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}{s_{i}}\left[\sum _{i=1}^{n}{s_{i}v_{i}^{-1}}\right]^{-1}}$ 

Medelhastigheten för en bil som kör en 120 km lång sträcka fram och tillbaka mellan hemmet och sommarstugan, först med hastigheten 60 km/h till sommarstugan och sedan tillbaka med hastigheten 120 km/h, är lika med det harmoniska medelvärdet 80 km/h, inte det aritmetiska medelvärdet som är 90 km/h.

Anledningen är att det tar två timmar att köra 120 km med hastigheten 60 km/h och att köra samma sträcka med hastigheten 120 km/h tar en timma. Totalt har bilen kört 240 km under 3 timmar och om vi delar 240 km med 3 timmar blir detta 80 km/h, vilket är lika med det harmoniska medelvärdet:

${\displaystyle v={2 \over {{1 \over 60}+{1 \over 120}}}=80}$ 

 

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet
Q: Kvadratiska medelvärdet
H: Harmoniska medelvärdet
G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

${\displaystyle {\bar {a}}_{Q}\geq {\bar {a}}_{A}\geq {\bar {a}}_{G}\geq {\bar {a}}_{H}}$ 

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.