Powierzchnia

Ten artykuł dotyczy dwuwymiarowych struktur w przestrzeni. Zobacz też: pole powierzchni.

Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.

Zobacz hasło powierzchnia w Wikisłowniku

Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.

Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.

Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy, że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:

1. Sferę ${\displaystyle S^{2}}$ 
2. Sumę spójną (wzdłuż ${\displaystyle S^{1}}$ ) g torusów dla ${\displaystyle g\geqslant 1}$ 
3. Sumę spójną (wzdłuż ${\displaystyle S^{1}}$ ) k kopii ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$  dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ 

Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne mają nietrywialną najwyższą grupę homologii ${\displaystyle H_{2}(\Sigma _{g})=\mathbb {Z} }$  a nieorientowalne nie ${\displaystyle (H_{2}(\Gamma _{k})=0).}$ 

• helikoida
• hiperboloida
• płaszczyzna
• powierzchnia stożkowa
• powierzchnia wielościenna
• rogata sfera Alexandera
• sfera
• torus

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.brak strony w książce