Negacja: Zaprzeczenie zdaniu lub nazwie, różnie formalizowane

Symbole negacji

autorzy	zapis
Heyting	${\displaystyle \neg p}$
Schröder Peirce	${\displaystyle p'}$
Peano Russell	${\displaystyle \sim p}$
Hilbert	${\displaystyle {\overline {p}}}$
Łukasiewicz	${\displaystyle Np}$

• działanie jednoargumentowe na zbiorze zdań (funktor zdaniotwórczy), które każdemu zdaniu p przypisuje zdanie nie p;
• wynik tego działania, tj. wartość funktora – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem;
• odpowiednią funkcję na zbiorze wartości logicznych;
• odpowiedni funktor na zbiorze nazw.

W logice formalnej, np. rachunku zdań, negacja ma różne zapisy:

• osobny symbol ${\displaystyle (\neg p),}$
• tylda ${\displaystyle (\sim p),}$
• prim ${\displaystyle (p'),}$
• makron ${\displaystyle ({\overline {p}}).}$

Odczytuje się to nieprawda, że p lub nie jest tak, że p. Inny symbol negacji – zwłaszcza jako funkcji boolowskiej i bramki logicznej – to angielska partykuła NOT.

Tablica prawdy dla negacji

${\displaystyle p}$	${\displaystyle \neg p}$
0	1
1	0

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} }$  będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: ${\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}.}$  Negacja ${\displaystyle \neg \,:\mathbb {B} \to \mathbb {B} }$  jest funkcją ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {B} }$  w zbiór ${\displaystyle \mathbb {B} ,}$  określoną następująco:

${\displaystyle \neg \,p=1-p}$ ,

czyli

${\displaystyle \neg \,0=1}$ 
${\displaystyle \neg \,1=0}$ .

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe),
0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

W klasycznym rachunku zdań negacja pojawia się w szeregu tautologii, tj. formuł prawdziwych zawsze, bez względu na prawdziwość zdań składowych. Odpowiadają im pewne tożsamości opisujące dopełnienie zbioru.

Zasada niesprzeczności

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe):

${\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}$ ,

gdzie ${\displaystyle \land }$  jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik ‘i’).

Przykład:

• Niech ${\displaystyle p}$  będzie zdaniem Mam ciastko.
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$  ma postać: Nie mam ciastka.
• Ich koniunkcja ${\displaystyle p\,\land \,\neg \,p}$  to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
• Zaprzeczenie tej koniunkcji ${\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}$  (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Prawo wyłączonego środka

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe:

${\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}$ ,

gdzie ${\displaystyle \lor }$  jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

• Niech zdanie ${\displaystyle p}$  ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$  to Jutro nie będzie padał deszcz.
• Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
• Ich alternatywa ${\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}$  (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Prawo podwójnego przeczenia

Złożenie dwóch negacji jest równoważne wyjściowemu zdaniu:

${\displaystyle \neg \,(\neg \,p)\Leftrightarrow p.}$ 

Przykład:

• Niech zdanie ${\displaystyle p}$  oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$  ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
• Natomiast ${\displaystyle \neg \,(\neg \,p)}$  można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu ${\displaystyle p}$ ).

Inne

Negację zawierają też prawo kontrapozycji i prawa De Morgana.

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Logika dla prawników – Negacja

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika

Zobacz hasło negacja w Wikisłowniku

• algebra Boole’a
• bramka NOT
• kwantyfikator

• Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
• Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
• Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.

• Laurence R.L.R. Horn Laurence R.L.R., HeinrichH. Wansing HeinrichH., Negation, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 20 lutego 2020, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-02-21]  (ang.).