Kepler-Problemet

Dette spelar ei særs viktig rolle i teorien for planetrørslene.

Den sentrale krafta F som varierer i styrke med omvendte kvadratet av avstanden r mellom dei:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$ 

der k er ein konstant og ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$  syner til einingsvektoren langs linja mellom dei. Krafta kan vere anten tiltrekkjande (k<0) eller fråstøytande (k>0). Den samsvarande skalare potensialet (den potensielle energien til ein ikkje-sentral lekam) er:

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$ 

Rørslelikninga for radien ${\displaystyle r}$  til ein partikkel med masse ${\displaystyle m}$  som flyttar seg i eit sentralt potensial ${\displaystyle V(r)}$  er gjeven av Lagrange-likningane

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$ 

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$  og vinkelmomentet ${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$  er bevart. For å illustrere dette er det første leddet på venstesida null for sirkelforma omlaup, og den nytta innoverretta krafta ${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$  er lik sentripetalkrafta ${\displaystyle mr\omega ^{2}}$ , som venta.

Om L er ulik null så let definisjonen av vinkelmoment ei endring av den sjølvstendige variabelen frå ${\displaystyle t}$  til ${\displaystyle \theta }$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$ 

gjeven den nye rørslelikninga som er tidsuavhengig

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$ 

Utvidinga av første leddet er

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {{2}L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$ 

Denne likninga vert kvasilineær når ein byter variablane ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$  og multipliserer begge sider med ${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d^{2}\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$ 

Etter å byte inn og omarrangere:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)}$ 

For ei omvendt kvadratlov som gravitasjons- eller elektrostatisk potensial, kan potensialet skrivast

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$ 

Banen ${\displaystyle u(\theta )}$  kan ein få frå den generelle likninga

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$ 

der løysinga er konstanten ${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$  pluss ei enkel sinuskurve

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]}$ 

der ${\displaystyle e}$  (eksentrisiteten) og ${\displaystyle \theta _{0}}$  (faseforskyvinga) er konstantar i integrasjonen.

Dette er den generelle formelen for eit kjeglesnitt som har eit focus i origio; ${\displaystyle e=0}$  svarar til ein sirkel, ${\displaystyle e<1}$  svarar til ein ellipse, ${\displaystyle e=1}$  svarar til ein parabel, og ${\displaystyle e>1}$  svarar til ein hyperbel. Eksentrisiteten ${\displaystyle e}$  er knytt til den totale energien ${\displaystyle E}$  (jf. Laplace–Runge–Lenz-vektor)

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$ 

Samanliknar ein desse likningane syner ein at ${\displaystyle E<0}$  svarar til ein ellipse (alle løysingar som er tette banar er ellipsar), ${\displaystyle E=0}$  varar til ein parabel, og ${\displaystyle E>0}$  svarar til ein hyperbel. ${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$  for perfekte sirkelforma banar (den sentrale krafta er nøyaktig lik sentripetalkrafta, som avgjer den påkravde vinkelfarten for ein gjeven sirkelradius.

For ei fråstøytande kraft (k > 0) gjeld berre e > 1.