Mathematica Sinus

Qua de causa etiam "functio angulorum" nominatur, sicut cosinus et tangens.

Mathematicus Indus Aryabhata Maior verbo "jya" (chorda) usus est in opere "Aryabhatiya" (quod completum est anno 499). Arabes hoc de termino verbum "jiba" derivaverunt. Ut solebat, sine vocalibus ("jb") scriptum est. Quod "jiba", praeter technicam, nullam significationem lingua Arabica habet atque quod sine vocalibus scriptum erat, postea pro "jiba" verbum "jaib" ("sinus") introductum est. Quando exacte hoc verbo "sinus" translatum est, incertum est. Tres fontes tres translatores dispares nominant:

1. Gerardus Cremonensis (~ 1150)
2. Robertus Castrensis (~ 1145)
3. Plato Tiburtinus (saeculo duodecimo post Christum natum)

Sinus angulorum minorum quam 90°

Ut cognitum est, omnia triangula in magnitudinibus duorum angulorum (ergoque in ea omnium trium angulorum) consentientia habent latera ${\displaystyle a,b,c}$  (trianguli primi) atque ${\displaystyle a',b',c'}$  (secundi) ita, ut

${\displaystyle a:b:c=a':b':c'}$  (triangula similia)

Ergo, si unius trianguli cum angulis duobus exacte cognitis longitudines laterum reperiuntur, pro magnitudinibus angulorum omnia triangula datis sufficientia etiam per proportionem longitudinum laterum exprimi possunt.

Exempli gratia, si uni triangulo anguli sunt α = 30°, β = 90°, hoc velut est triangulum laterum ${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {3}}};b={\frac {2}{\sqrt {3}}};c=1}$ . Proportio longitudinum ergo angulos constituit!

Ad sinum definiendum, triangulum semper anguli recti (90°) est. Quod ergo unus angulus semper iam cognitus est, ad triangulum (et proportionem) constituendum solum unus dandus est. Etiam, quia triangulum anguli recti et eis triangulis theorema Pythagorae est, duobus lateribus datis tertium concluditur. Igitur necesse non est pro angulis proportionem omnium trium longitudinum laterum, sed sola ea duorum dare ad triangula definienda.

Sinus unius anguli tum definitur ita, ut proportio ${\displaystyle {\frac {CC}{HYP}}}$  sit (CC = catheta contraria, id est ea catheta trianguli, quae angulo contraria sita est; HYP = hypotenusa trianguli).

Exempli gratia, si sinus anguli 45° quaeritur, hic est ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ , quod ibi triangulum capi potest, ut dimidium quadri sit; hypotenusa ergo linea diagonalis, cathetae duo latera quadri sunt. Et quia linea diagonalis quadri per formulam ${\displaystyle d={\sqrt {2}}\cdot a}$  (a longitudo lateris) computatur, proportio, quae sinui respondet, sicut nominata est.

Sane hoc modo angulis specialibus (id est, 0°, 30°, 45°, 60°, 90°) exacte computari potest, sed sunt methodi appropinquandi, quae celeriter valor admodum exactus sinus anguli dati dant. Hae a machinis computandi modernis usurpantur, sinus ergo non manualiter, sed his machinis computatur.

Sinus alterorum angulorum

Ita sinus angulorum minorum quam 90° (${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ) definitur, sed multis legibus optimum est eam functionem omnibus angulis definire, qua de causa definitio prima ita amplificatur:

Omnes anguli per circulum unitatis (id est, per circulum cuius origo etiam origo systematis coordinatarum cuiusque radius longitudinis 1 est) exprimantur; hoc ad faciendum, is radius reperiatur, qui cum axe valorum positivorum x angulum datum circumcludit. Nunc coordinatae puncti lineae circuli, quod hoc in radio situm est, sinus (coordinata y) et cosinus (coordinata x) sint.

Hac cum definitione multae leges iam definitione angulorum minorum 90° repertae etiam angulis alteris valent.

Ergo, valoribus sinus omnis anguli ${\displaystyle x}$  lex sequens est:

${\displaystyle |\sin {x}|=|\sin {(x+{\frac {\pi }{2}})}|=|\sin {(x+\pi )}|=|\sin {(x+{\frac {3\pi }{2}})}|}$ 

Etiam, signis horum valorum dici potest:

• Si ${\displaystyle 0$ , ${\displaystyle \sin {x}>0}$ 

• Si ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}$ , ${\displaystyle \sin {x}>0}$ 

• Si ${\displaystyle \pi$ , ${\displaystyle \sin {x}<0}$ 

• Si ${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}$ , ${\displaystyle \sin {x}<0}$ 

Haec ita nominatur, quod solum omnium functionum angulorum sinum continet. Est formula de triangulis, quae dicit omnes tres proportiones ex uno latere trianguli atque sinu anguli lateri contrario aequales esse:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}}$ 

Nunc ita videri potest, cur definitio idonea sinus omnium angulorum tam utilis est; haec formula etiam triangulis cum uno angulo maiore 90° valet, ut demonstrari potest!

Triangulum anguli recti

Unius trianguli anguli recti (${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ ) dentur:

• angulus ${\displaystyle \alpha =25^{\circ }}$ 

• hypotenusa ${\displaystyle c=50}$ 

Computentur longitudines cathetarum a et b!

Quod hoc triangulum anguli recti est, sola definitio sinus usurpanda est:

${\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {a}{c}}}$  (a catheta contraria atque c hypotenusa est),

ergo ${\displaystyle a=c\cdot \sin {\alpha }}$ ,

ergo ${\displaystyle a\approx 21,13}$ 

Longitudo cathetae b theoremate Pythagorae computari potest:

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$ ,

ergo ${\displaystyle b\approx 45,32}$ 

Triangulum generale

Cogniti sint unius trianguli:

• latus ${\displaystyle c=100}$ 

• anguli ${\displaystyle \alpha =50^{\circ }}$ , ${\displaystyle \beta \beta =30^{\circ }}$ 

Computa longitudines ${\displaystyle a,b}$  atque magnitudinem anguli ${\displaystyle \gamma }$ 

Hoc ad peragendum, lex sinus usurpari potest:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )}$ ,

ergo ${\displaystyle \gamma =100^{\circ }}$ .

Lex sinus:

${\displaystyle {\frac {c}{\sin {\gamma }}}={\frac {a}{\sin {\alpha }}}}$ ,

ergo ${\displaystyle a={\frac {c\sin {\alpha }}{\sin {\gamma }}}}$ ,

ergo ${\displaystyle a\approx 77,79}$ 

Et:

${\displaystyle {\frac {c}{\sin {\gamma }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}}$ ,

ergo ${\displaystyle b={\frac {c\sin {\beta }}{\sin {\gamma }}}}$ ,

ergo ${\displaystyle b\approx 50,77}$ 

Parallelogramma

Etiam aliorum figurorum geometricorum longitudines vel anguli reperiri possunt, si ea in triangulis idoneis dividuntur. Exempli gratia:

Cognitis

• altitudine ${\displaystyle h=50}$ ,

• area ${\displaystyle A=10000}$  et

• angulo ${\displaystyle \alpha =40^{\circ }}$ 

computandi sint parallelogrammi longitudines laterum atque angulus ${\displaystyle \beta }$ .

Hoc sola definitione sinus peragi potest, quod triangulum anguli recti cum hypotenusa b atque catheta h et cum angulo ${\displaystyle \alpha }$  est. Ergo, ea definitio dat:

${\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {h}{b}}}$ ,

ergo ${\displaystyle b={\frac {h}{\sin {\alpha }}}}$ ,

ergo ${\displaystyle b\approx 77,79}$ 

Longitudo a ita computatur:

${\displaystyle A=a\cdot h}$ ,

ergo ${\displaystyle a={\frac {A}{h}}}$ ,

ergo ${\displaystyle a\approx 128,56}$ 

Functio sinus ${\displaystyle x\mapsto \sin {x}}$  (nota bene argumentum hic modulo arcus dari) habet ${\displaystyle \mathbb {R} \to [0;1]}$ . Sinus omnibus numeris realibus attribui potest, quod per definitionem numeri, qui non in intervallo ${\displaystyle [0;2\pi [}$  tenentur, aequent eos, qui dantur, si ad numerum cognitum additur aut de numero cognito subtrahitur totiens valor ${\displaystyle 2\pi }$ , ut numerus eveniens hoc in intervallo situs est.

Graphium functionis undis simile est; hae sunt proprietates eius:

1. Ut iam memoratum est, omnibus numeris realium haec functio definiri potest; valores autem, qui attribuuntur, omnes modo in intervallo ${\displaystyle [0,1]}$  continentur.
2. Functio nullos saltus habet.
3. Numquam non est monotona, sed monotonia eius semper mutatur: Ascendit in intervallis ${\displaystyle \ldots [-{\frac {5\pi }{2}};-{\frac {3\pi }{2}}];[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}];[{\frac {3\pi }{2}};{\frac {5\pi }{2}}];\ldots }$  (generalius: in omnibus intervallis ${\displaystyle [{\frac {p\pi }{2}};{\frac {(p+2)\pi }{2}}];p\in \mathbb {Z} _{i}=\{\ldots -3,-1,1,3,\ldots \}}$  (numerus impar). Descendit in alteris intervallis copiae numerorum realium, id est in omnibus intervallis formae ${\displaystyle [{\frac {q\pi }{2}};{\frac {(q+2)\pi }{2}}];q\in \mathbb {Z} _{p}=\{\ldots -2,0,2\ldots \}}$  (numerus par).
4. Extremorum ergo etiam copiam infinitam habet. Maxima sunt omnia puncta ${\displaystyle P({\frac {(1+4k)\pi }{2}}|1),k}$ , minima omnia puncta ${\displaystyle Q({\frac {(-1+4k)\pi }{2}}|-1);k\in \mathbb {Z} }$ .
5. Huic functioni infinita zera sunt, namque omnia puncta formae ${\displaystyle Z(k\pi |0);k\in \mathbb {Z} }$ .
6. Derivatio functionis sinus est cosinus: ${\displaystyle (\sin {x})'=\cos {x}}$ 
7. Integralis sinus: ${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+c;c\in \mathbb {R} }$ 

Superficies plana obliqua

Si corpus, quod puncto P describitur, in superficien planam obliquam positum delabi incipit, haec motio etiam aeque acceleratur acceleratione ${\displaystyle a}$ . Sed haec acceleratio valorem ${\displaystyle g=9,81{\frac {m}{s^{2}}}}$ , ut observatur, si res sine restricionibus cadit, non aequat. Ea minor est!

Valor ${\displaystyle a}$  ita derivari potest:

Gravitas corporis ${\displaystyle F_{G}=m\cdot g}$  in duas vires componentes dividi potest; prima eandem directionem atque motio corporis habet (vis parallela), secunda cum prima angulum rectum circumcludit (vis normalis). Modo prima vis componens corpus movet; qua de causa per eam acceleratio computatur.

Tres vires (${\displaystyle F_{G}}$  et duae componentes) triangulum formant. Hoc in triangulo ${\displaystyle F_{G}}$  hypotenusa, componentes cathetae sunt. Si superficies plana obliqua cum tali non obliqua angulum ${\displaystyle \phi }$  circumcludit, hic etiam in trianguluo apparet; vis parallela catheta contraria eius est:

${\displaystyle \sin {\phi }={\frac {F_{||}}{F_{G}}}}$ ,

ergo ${\displaystyle F_{||}=\sin {\phi }\cdot F_{G}}$ 

Et quod ${\displaystyle F_{||}}$  accelerationem ${\displaystyle a}$  continet, quae nunc computari potest:

${\displaystyle F_{||}=m\cdot a}$ ,

ergo ${\displaystyle \sin {\phi }\cdot m\cdot g=m\cdot a}$ ,

ergo ${\displaystyle a=\sin {\phi }\cdot g}$ 

Si ${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$ , formula casum liberum (${\displaystyle a=g}$ ) dat.

Oscillationes undaeque

Oscillationes

Oscillatio designat mutationes, quae exsistunt, si systema perturbatum vi redigente in statum originalem agitatur. Exempli gratia, si pondus pendens in aliquam directionem movetur, compluriens hanc in directionem atque in directionem contrariam oscillabit, sed postremo rursus sine motionibus pendet.

Casus specialis oscillationum sunt oscillationes harmonicae, quae habent minime unam magnitudinem, cuius mutationes functione sinus temporis describi possunt.

Exempli gratia, in exemplo cum pondere pendente, elongatio a situatione originali talis magnitudo est, quod ita computari potest: ${\displaystyle \sin {\phi }={\frac {x}{l}}}$  (${\displaystyle \phi }$  angulum elongationis, x elongationem atque l longitudinem funis designat). Ergo elongatio computatur per formulam ${\displaystyle x=l\cdot \sin {\phi }}$ . ${\displaystyle \phi }$  functione temporis describi potest, ergo x proprietatem necessariam habet.

Undae

Si oscillatio aliquo loco spatii accidens coniunctionum inter particulas spatii causa in spatio propagatur, hic processus "unda" nominatur.

Re vera undae, quae in supericie aquae observantur, "undae" hanc per definitionem sunt. Exempli gratia, si lapis in lacum conicitur, superficies hac re perturbatur. Locus, ubi lapis superficiem ferit, centrum undae exsistentis erit. Oscillatio particularum aquae propagabitur, et hoc a nos "unda" nominatur.

Superficies lacus aequatione functionis cum duobus variabilibus independentibus describi potest. Per oscillationem quae mutatur; hae mutationes (functio temporis) sinu exprimi possunt, quod propagationi oscillationum in unam directionem etiam forma graphii functionis sinus (variabile independens tempus) est.

• cosinus
• tangens
• oscillatio
• unda
• trigonometria
• lex refractionis

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (lingua Anglica)