뫼비우스의 띠: 경계가 하나밖에 없는 2차원 도형

뫼비우스의 띠(Möbius strip)는 위상수학적인 곡면으로, 경계가 하나밖에 없는 2차원 도형이다. 안과 밖의 구별이 없는 대표적인 도형으로서 비가향적(non-orientable)이다. 1858년에 아우구스트 페르디난트 뫼비우스와 요한 베네딕트 리스팅이 서로 독립적으로 발견했다.

모형은 종이 띠를 절반 만큼 비틀어 끝을 붙이는 것으로 간단하게 만들 수 있다. 사실 유클리드 공간에서는 어느 쪽으로 비트느냐에 따라 두 종류의 뫼비우스 띠가 존재한다. 따라서 뫼비우스의 띠는 키랄성(Chirality; 실제상과 거울상이 겹치지 않은 구조의 성질, 즉 회전반사대칭이 없는 구조의 입체적 성질)을 띤다.

뫼비우스 띠의 오일러 지표는 0이다.

뫼비우스 띠는 몇 가지 흥미로운 성질을 가진다. 어느 지점에서 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 반대면에 도달할 수 있다. 이 상황에서 계속 나아가면 두 바퀴를 돌아 처음 위치로 돌아오게 된다. 이러한 연속성에 의해 뫼비우스 띠는 단일 경계를 가지게 된다.

띠의 중심을 따라 뫼비우스 띠를 자르면 두 개의 띠로 분리되는 것이 아니라, 단일한 두 번 꼬인 띠가 된다. 이것은 뫼비우스의 띠가 단일한 경계를 가지기 때문인데, 자르기를 하면 두 번째 경계가 생겨나는 것이다.

띠의 중심을 따라 1/3씩 평행한 두 줄로 자르면 두 개의 띠로 분리된다. 하나는 동일한 길이의 뫼비우스의 띠가 되고, 다른 하나는 두 배로 긴, 두 번 꼬인 띠가 된다.

짝수번 비튼 띠는 뫼비우스의 띠는 아니다.

1번 비튼 띠 (1번 비튼 띠=180°회전시킨 띠)

-2등분시 = 4번 비튼 띠 (1개)

-3등분시 = 4번 비튼 큰 띠(=두번 꼬인 띠) 1개, 1번 비튼 띠(1개)가 연결되어 있다.

2번 비튼 띠

-2등분시 = 2번 비튼 띠 (2개)

-3등분시 = 2번 비튼 띠 (3개)

3번 비튼 띠

-2등분시 = 8번 비튼 띠 (1개)

-3등분시 = 8번 비튼 큰 띠(1개), 3번 꼬인 띠 (1개)

4번 비튼 띠

-2등분시 = 4번 비튼 띠(2개)

-3등분시 = 4번 비튼 띠(3개)

 

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  상에서 뫼비우스의 띠를 매개변수로 표현하는(parametrization) 한 가지 방법을 예시하면 다음과 같다.

${\displaystyle x(u,v)=\textstyle \left(1+{\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}u\right)\cos u}$ 
${\displaystyle y(u,v)=\textstyle \left(1+{\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}u\right)\sin u}$ 
${\displaystyle z(u,v)=\textstyle {\frac {1}{2}}v\sin {\frac {1}{2}}u}$ 

이 때, ${\displaystyle 0\leq u<2\pi ,-1\leq v\leq 1}$ 이다. 이것은 xy평면 위에 있는 반지름이 1인 중심원 위에 놓인 너비가 1인 뫼비우스 띠를 만든다. 변수 u는 뫼비우스의 띠를 돌고, v는 모서리 사이를 움직인다.

위상수학에서 뫼비우스의 띠는 우측 다이어그램과 같이, 정사각형 [0,1] × [0,1]에서 위쪽 모서리와 아래쪽 모서리가 0 ≤ x ≤ 1에서 (x, 0) ~ (1 − x, 1)로 동치 관계(Equivalence relation)를 주어서 정의한다.

뫼비우스의 띠는 경계를 가지는 2차원 콤팩트 다양체(compact manifold with boundary)이다. 또한 비가향적(non-oriantable)인 곡면으로 가장 유명한 예가 된다.

기하학적 대상으로서 클라인 병과 매우 연관이 깊다. 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠의 경계를 붙여서 만든다. 물론 보통의 3차원 유클리드 공간에서는 불가능한 작업이다.

다른 기하학적인 대상으로는 실수 사영 평면이 있다. 원판(disk)의 경계를 따라 뫼비우스의 띠의 경계를 붙이면 실수 사영 평면을 얻는다.

 

• 네덜란드의 화가 에셔의 작품 중에는 뫼비우스의 띠에 영감을 받은 작품이 많다.
• 미국의 재활용 마크는 뫼비우스의 띠 모양이다.
• 대한민국의 소설가 조세희의 단편 소설 모음집 《난장이가 쏘아올린 작은 공》에 수록된 첫 번째 단편의 제목이 〈뫼비우스의 띠〉다.
• 대한민국의 보이 밴드 젝스 키스의 4집 앨범 《Com'Back》에 "뫼비우스의 띠"라는 제목의 수록곡이 있다.

• 교차모
• 리본 이론 (Ribbon theory)
• 클라인 병
• Umbilic torus

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