同値: 2つの命題の真偽が一致する論理演算

基本的な性質

同値の基本的な性質は以下の通り。
（${\displaystyle \Rightarrow }$ は論理包含（ならば）、${\displaystyle \land }$ は論理積（かつ））

• 反射律: ${\displaystyle p\Leftrightarrow p}$ 
• 対称律: ${\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (q\Leftrightarrow p)}$ 
• 推移律: ${\displaystyle [(p\Leftrightarrow q)\land (q\Leftrightarrow r)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow r)}$ 

その他

他にも次のような性質がある。
（${\displaystyle \lnot }$  は否定、${\displaystyle \veebar }$  は排他的論理和）

• 反対称律: ${\displaystyle [(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow q)}$ 
• ${\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow \lnot (p\veebar q)}$ 

「必要」はこの項目へ転送されています。「必要」の語義については、ウィクショナリーの「必要」の項目をご覧ください。

「十分」はこの項目へ転送されています。「十分」の語義については、ウィクショナリーの「十分」の項目をご覧ください。

二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。

また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。

例 1

ある数が４の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、４の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも４の倍数であるとは限らない。

また、ある数が４の倍数である為には、その数が８の倍数であれば十分である。つまり、８の倍数であることは、４の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が８の倍数でなくとも、必ずしも４の倍数でないとは限らない。

他方、ある数が２の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず２の倍数である。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、２の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。

例 2

自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。

• p(n)： n > 10
• q(n)： 2n > 20

そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。

例 3

実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。

• p(x)： x > 0
• q(x)： x² > 0

そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。

例 4

￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)

• p(A, B)： ￢( A ⇔B ) = 真
• q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真

そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( A ⇔B ) = 真」 は 「( ￢A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。

• 数理論理学
• 命題
• 同一性

• Necessary and Sufficient Conditions （英語） - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
• Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).