ハーン–バナッハの定理

定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合については、より早い段階（1912年）でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた。

定理の最も一般な定式化においては、いくつかの準備が必要とされる。実数体 R 上のベクトル空間 V に対し、関数 ƒ : V → R が劣線形（英語版）であるとは、

任意の ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}}$  および x ∈ V に対して ${\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)}$   が成立する（正同次性）

任意の x, y ∈ V に対して ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$   が成立する（劣加法性）

が成立することを言う。

V 上のすべての半ノルム（特に、V 上のすべてのノルム）は劣線形である。他の劣線形関数、特に凸集合のミンコフスキー汎関数なども同様に有用なものとなりうる。

ハーン–バナッハの定理の別形態は次のようなものである: V を係数体 K （実数 R あるいは複素数 C）上のベクトル空間とし、${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R} }$  を半ノルムとし、φ: U → K を V の K-線形部分空間 U 上の K-線形汎関数とし、U 上ではその絶対値が ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$  によって支配されるもの、すなわち

${\displaystyle |\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U}$ 

が成立するものとする。このとき、φ には全空間 V への線形拡張 ψ: V → K が存在する。すなわち、次を満たすような K-線形汎関数 ψ が存在する:

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U}$ 

および

${\displaystyle |\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.}$ 

この定理の複素数の場合において C-線形性を仮定として要求するということは、実数の場合での仮定に、すべてのベクトル x ∈ U に対して、ベクトル i x も U に属し、φ(i x) = i φ(x) が成立するという仮定を加えて要求するということである。

一般には、拡張 ψ は φ によって一意に定まるものではなく、また、定理の証明を見ても ψ を見つける明示的な方法は分からない。無限次元空間 V の場合には、選択公理の一形態であるツォルンの補題が、証明に必要とされる。

(Reed & Simon 1980)によれば、${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$  に対する劣線形性の条件は、条件

${\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|\,{\mathcal {N}}(x)+|b|\,{\mathcal {N}}(y),\qquad x,y\in V,\quad |a|+|b|\leq 1}$ 

に、少し弱めることが出来る。この条件は、ハーン–バナッハの定理と凸性の間の深い関係を明らかにするものである。

Mizarプロジェクトは、ハーン–バナッハの定理の完全な定式化と自動検証された証明をHAHNBAN fileに有している。

この定理にはいくつかの重要な帰結が存在し、しばしばそれらも「ハーン–バナッハの定理」と呼ばれることがある。

• V をノルム線型空間、U をその線形部分空間（必ずしも閉ではない）とし、作用素 φ: U → K は連続かつ線型であるとする。このとき、φ には連続かつ線型な拡張 ψ: V → K が存在し、そのノルムは φ と等しいものとなる（線型写像のノルムについては「バナッハ空間」を参照されたい）。これはすなわち、ノルム線型空間の圏において、空間 K は入射的対象であることを意味する。
• V をノルム線型空間、U をその線型部分空間（必ずしも閉ではない）とし、z を、U の閉包に含まれないような V の元とする。このとき、すべての U の元 x に対しては ψ(x) = 0 であり、ψ(z) = 1 および ǁψǁ = 1 ⁄ dist(z, U) を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が存在する。
• 特に、ノルム線型空間 V の任意の元 z に対して、

ψ(z) = ǁzǁ かつ ǁψǁ ≤ 1 を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が必ず存在する。このことは、ノルム線型空間 V からその二重双対 V ′′ への自然な単射は等長写像であるということを意味する。

ハーン–バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理というものが知られている 。この定理は凸幾何学（英語版）、最適化理論、経済学の分野で幅広く用いられている。

定理.
V を、K (= ℝ または ℂ) に対する位相ベクトル空間とし、A および B を、V の空でない凸な部分集合とし、A ∩ B = ∅ とする。このとき、次が成立する:
1. A が開ならば、ある連続線型作用素 λ: V → K および実数 t ∈ R が存在して、Re λ(a) < t ≤ Re λ(b) がすべての a ∈ A, b ∈ B に対して成立する。
2. V が局所凸、A がコンパクトで、B が閉ならば、ある連続線型作用素 λ: V → K および実数 s, t ∈ R が存在して、Re λ(a) < t < s < Re λ(b) がすべての a ∈ A, b ∈ B に対して成立する。

上述のように、選択公理からハーン–バナッハの定理は従うが、その逆は真ではない。このことを示す一つの方法としては、選択公理よりも真に弱いウルトラフィルターの補題（英語版）からハーン・バナッハの定理を証明することができるが、この場合その逆は成り立たないということに着目すればよい。ハーン–バナッハの定理は、実は、ウルトラフィルターの補題よりもさらに弱い仮定を用いて証明することも出来る。 更に、ブラウンとシンプソンは、弱ケーニヒの補題を公理の一つとする二階算術（英語版）の部分体系WKL₀ から可分なバナッハ空間上の有界線型汎関数に対するハーン-バナッハの定理がしたがう、ということを証明した。

ハーン–バナッハの定理の帰結として、次のようなものも存在する。

命題.
−∞ < a < b < ∞ のとき、F ∈ C[a, b]^∗ であるための必要十分条件は、有界変動関数 ρ: [a, b] → R が存在して
${\displaystyle F(u)=\int _{a}^{b}u(x)\,d\rho (x)}$ 
がすべての u ∈ C[a, b] に対して成立することである。
さらに、ρ の全変動 V(ρ) に対し、ǁFǁ = V(ρ) が成立する。

• リースの拡張定理
• 分離超平面定理

• Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) pages 193–211.
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5 
• Terence Tao, The Hahn–Banach theorem, Menger’s theorem, and Helly’s theorem
• Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis: main principles and their applications, Springer, 1995.