מתמטיקה מידה

מושג המידה מכליל את המושגים הטבעיים של אורך, נפח והסתברות, ולכן יש לו תפקיד מרכזי באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות.

תורת המידה היא ענף של אנליזה ממשית שחוקר סיגמא-אלגברות, פונקציות מידה, פונקציות מדידות ואינטגרלים.

יהי ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$  מרחב מדיד (כלומר ${\displaystyle X\neq \emptyset }$  ו-${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq 2^{X}}$  סיגמא-אלגברה). פונקציה ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$  נקראת מידה אם יש קבוצות שמידתן סופית, והיא סיגמא-אדיטיבית:
יהיו ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}$  מספר בן מנייה של קבוצות זרות בזוגות, כלומר: ${\displaystyle \forall i\neq j:A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ .
אזי מתקיים שמידת האיחוד היא סכום המידות, כלומר:
${\displaystyle \ \mu \left(\biguplus _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\mu (A_{n})}}$ .

פונקציה ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {C} }$  בעלת שתי תכונות אלה נקראת מידה מרוכבת. לעיתים, על מנת להדגיש שטווחה של מידה מסוימת הוא ${\displaystyle [0,\infty )}$  אומרים שהיא מידה חיובית (על אף שהיא יכולה להחזיר את 0 כערך).

שלשה ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)}$  שרכיביה מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה על המרחב ופונקציית מידה על האלגברה, נקראת מרחב מידה. במקרה כזה, קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה מכונה קבוצה מדידה (ביחס לאותה אלגברה).

פונקציה בין שני מרחבי מידה נקראת מדידה, אם התמונה ההפוכה של כל קבוצה מדידה היא קבוצה מדידה.

קיימות הכללות של פונקציית מידה גם לפונקציות המקבלות ערכים שליליים ואף לפונקציות המקבלות ערכים מרוכבים.

  ערכים מורחבים – מידה מסומנת, מידה מרוכבת

תכונות של מידה

מתכונת ההגדרה של הסיגמא האדטיבית לעיל נובעות התכונות השימושיות הבאות של מידה חיובית:

• מונוטוניות ביחס להכלה:
  אם ${\displaystyle \ A\subseteq B}$  אזי ${\displaystyle \ \mu (A)\leq \mu (B)}$ .
• סיגמא תת-אדיטיביות (או חצי אדיטיביות):

יהיו ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n},\cdots \in {\mathcal {A}}}$  מספר בן מנייה של קבוצות (לא בהכרח זרות), אזי
${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$ 

• רציפות מלמטה:

תהי סדרת קבוצות ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots A_{n}\subset A_{n+1}\cdots }$ , אזי מתקיים:
${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})}$ 

• רציפות מלמעלה:

תהי סדרת קבוצות ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots A_{n}\supset A_{n+1}\cdots }$  ונניח ש-${\displaystyle \mu (A_{i})<\infty }$  עבור ${\displaystyle i}$  טבעי אחד לפחות, אזי מתקיים:
${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})}$ 

בהנתן מרחב מדיד ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ , מתקיים כי:

• לכל זוג מידות ${\displaystyle \mu ,\nu }$  על המרחב, הפונקציה ${\displaystyle \mu +\nu }$  היא פונקציית מידה.
• לכל זוג מידות ${\displaystyle \mu ,\nu }$  על המרחב המקיימות ${\displaystyle \mu (A)\geq \nu (A)}$  לכל ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ , הפונקציה ${\displaystyle \mu -\nu }$  היא פונקציית מידה.
• לכל מידה ${\displaystyle \mu }$  על המרחב ולכל ${\displaystyle a\geq 0}$ , הפונקציה ${\displaystyle a\mu }$  היא פונקציית מידה.
• לכל מידה ${\displaystyle \mu }$  ולכל ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$ , הפונקציה ${\displaystyle \mu _{C}\colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$  המקיימת ${\displaystyle \mu _{C}(A):=\mu (A\cap C)}$  לכל ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$  היא פונקציית מידה.

יהי ${\displaystyle \ \left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)}$  מרחב מידה.

מידה סופית

  ערך מורחב – מידה סופית

מידה נקראת סופית אם היא אינה מקבלת את הערך ${\displaystyle \infty }$  עבור כל קבוצה מדידה. תנאי זה שקול לכך ש-${\displaystyle \mu (X)<\infty }$  (מידת מרחב המדגם עצמו סופית).

למידות מסוג זה חשיבות רבה בתורת ההסתברות, זאת כי ניתן לנרמל אותן כך ש-${\displaystyle \mu (X)=1}$ .

מידה סיגמא-סופית

  ערך מורחב – מידה סיגמא-סופית

מידה נקראת סיגמא-סופית אם ניתן להציג את X כאיחוד בן מנייה של קבוצות בעלות מידה סופית.

לדוגמה: מידת לבג על הישר הממשי היא סיגמא-סופית כי ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }{[n,n+1]}}$  ומידת כל קטע סגור ${\displaystyle [n,n+1]}$  היא ${\displaystyle 1}$ .

מידה רגולרית

  ערך מורחב – מידה רגולרית

מידה המוגדרת מעל מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$  נקראת רגולרית אם מתקיים

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid A\subset G,G{\mbox{ is open}}\}=\sup\{\mu (F)\mid F\subset A,F{\mbox{ is closed}}\}}$ 

לדוגמה: מידת לבג היא מידה רגולרית, הדבר נובע מאופן בנייתה באמצעות מידה חיצונית.

מידה שלמה

  ערך מורחב – מידה שלמה

מידה חיובית היא שלמה אם לכל קבוצה בעלת מידה אפס ${\displaystyle E}$ , כלומר המקיימת ${\displaystyle \mu (E)=0}$ , תת-הקבוצות שלה כולן מדידות (ומידתן, בהכרח, אפס).

לכל מידה קיימת השלמה/הרחבה סטנדרטית המגדירה אותה על הסיגמא-אלגברה המקסימלית של הקבוצות המדידות, שבה המידה המורחבת היא מידה שלמה. כדי להשלים מידה כזאת, מוסיפים לסיגמא-אלגברה המקורית את כל הסיגמא-אלגברה של כל הקבוצות הנבדלות מקבוצות בסיגמא-אלגברה המקורי בקבוצה בעלת מידה אפס (כלומר: ${\displaystyle \mu (S\operatorname {\Delta } S')=0}$  כאשר ${\displaystyle \Delta }$  הוא הפרש סימטרי של קבוצות.

לדוגמה: מידת לבג היא ההשלמה הסטנדרטית של מידת האורך על הישר הממשי.

מידה לא-אטומית

היחידון ${\displaystyle \{x\}}$  הוא אטום של המידה ${\displaystyle \mu }$  אם ${\displaystyle \mu (x)>0}$ . באופן כללי יותר, כל קבוצה בעלת מידה חיובית, שאין לה תת-קבוצות ממידה חיובית וקטנה משלה, נקראת אטום. לדוגמה: מידת דיראק היא מידת הסתברות בעלת האטום ${\displaystyle \{0\}}$ .

מידה שאין לה אטומים נקראת מידה לא-אטומית. לדוגמה, מידת לבג היא מידה לא-אטומית. למידת האר של חבורה קומפקטית אינסופית אין אטומים. במידה לא אטומית, מידתה של כל קבוצה בת מניה היא 0.

מידות שימושיות:

• מידת לבג על הישר הממשי (הכללה של מושג האורך)
• מידת הסתברות, ראה אקסיומות ההסתברות.
• מידת האר
• מידה מרוכבת
• מידה הטלתית
• מידה פריקה

מושגים באנליזה ממשית:

• כמעט בכל מקום
• אינטגרל לבג

ידע נדרש:

• תורת הקבוצות
• קבוצה בת־מנייה
• עוצמה אינסופית
• אנליזה מתמטית

  מדיה וקבצים בנושא מידה בוויקישיתוף

• מידה, באתר MathWorld (באנגלית)
• מידה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)