מידה חיצונית

ייחודה והשוני שלה ממידה רגילה הוא שהיא מוגדרת על כל תתי הקבוצות של קבוצה נתונה. חשיבותה המרכזית היא בהגדרת מידת לבג, שהיא צמצום מידה חיצונית על הממשיים לקבוצות מדידות. עם זאת, למושג בפני עצמו יש חשיבות, והוא חלק מתורת המידה הכללית (שלא תלויה בהכרח בממשיים).

תהי ${\displaystyle X}$  קבוצה, ונסמן ב-${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$  את קבוצת החזקה שלה.

מידה חיצונית על ${\displaystyle X}$  היא פונקציה ${\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$ , המקיימת:

• קבוצה ריקה אפסה - ${\displaystyle \mu ^{*}(\emptyset )=0}$ 
• מונוטוניות - ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}$ 
• ${\displaystyle \sigma }$ -תת אדיטיביות - ${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }{{A}_{i}}\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mu ^{*}({A}_{i})}}$ 

מידה חיצונית נקראת סופית אם ${\displaystyle \mu ^{*}(X)<\infty }$ , וסיגמא-סופית אם קיימים ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq X}$  כך ש- ${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }{{A}_{i}}}$  המקיימים ${\displaystyle \mu ^{*}({A}_{i})<\infty }$  לכל ${\displaystyle i}$ .

תת קבוצה ${\displaystyle E\subseteq X}$  נקראת מדידה ביחס ל${\displaystyle \mu ^{*}}$ , אם מתקיים ${\displaystyle \forall Y\subseteq X:\mu ^{*}(Y)=\mu ^{*}(E\cap Y)+\mu ^{*}(E^{c}\cap Y)}$ .

נציג כעת בנייה של מידה חיצונית.

תהי ${\displaystyle X}$  קבוצה לא ריקה, ו- ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  משפחה לא ריקה של תתי קבוצות שלה, עם ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {E}}}$ . בהינתן פונקציה ${\displaystyle \rho \colon {\mathcal {E}}\to [0,\infty ]}$  המקיימת ${\displaystyle \rho (\emptyset )=0}$  נגדיר פונקציה ${\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$  באופן:

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{j=1}^{\infty }\rho (E_{j}):\forall j\;E_{j}\in {\mathcal {E}}{\text{ and }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right\}}$ 

(אם לא קיים כיסוי כמו בהגדרה, מגדירים את המידה החיצונית להיות אינסוף). כלומר, ${\displaystyle \mu ^{*}(A)}$  מתאים לקבוצה ${\displaystyle A\subseteq X}$  את הקירוב הטוב ביותר של מידתה מבחוץ על ידי כיסוי בן מנייה של קבוצות מ- ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ . ניתן להוכיח ש- ${\displaystyle \mu ^{*}}$  אכן מידה חיצונית.

בדרך כלל (ובפרט בבניית מידת לבג ובמשפט ההרחבה של קרתאודורי), לוקחים את משפחת הקבוצות ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  להיות חוג (קבוצת קבוצות לא ריקה הסגורה לאיחוד והפרש קבוצות), ואת ${\displaystyle \rho }$  להיות מידה-חוגית עליו (כלומר פונקציה שמקיימת את התכונות הרגילות של מידה, רק על חוג ולא על סיגמא-אלגברה, והתכונה האחרונה (סיגמא-אדיטיביות) רק כאשר האיחוד האינסופי שייך למשפחה).

• קבוצת הקבוצות המדידות כפי שהוגדרו לעיל היא סיגמא-אלגברה. צמצום המידה החיצונית על סיגמא-אלגברה זו מהווה מידה. יתרה מזאת, מרחב המידה שמתקבל הוא שלם.
• אם ${\displaystyle \mu ^{*}(A)=0}$  אז ${\displaystyle A}$  מדידה, ו- ${\displaystyle \forall B\subseteq X:\mu ^{*}(A\cup B)=\mu ^{*}(B)}$ .
• בשל הגדרתה על כל תתי הקבוצות, מידה חיצונית היא "כללית מדי". במילים אחרות, אי אפשר לדרוש עבורה תכונות שמקיימת מידה על סיגמא-אלגברה כלשהי, כמו סיגמא-אדיטיביות. בפרט, אי אפשר להגדיר אינטגרל על כל קבוצה עם מידה חיצונית.
• מידות מוכרות רבות מתקבלות מבניית מידה חיצונית וצמצומה על סיגמא אלגברה כלשהי (בדיוק כמו במקרה של מידת לבג). דוגמה למידה כזו היא מידת האוסדורף (ראו גם כאן),

דוגמאות נוספות ראו בקריאה נוספת.

• מידה (מתמטיקה)
• מידת לבג
• משפט ההרחבה של קרתאודורי

• מידה חיצונית, באתר MathWorld (באנגלית)