סדרה הנדסית: סדרת מספרים עם יחס קבוע בין האיברים

במילים אחרות, ניתן לחשב כל איבר בסדרה על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע ${\displaystyle q}$ (היחס בין האיברים; נקרא גם מנת הסדרה). סדרה הנדסית קרויה כך, משום שכל איבר בה הוא הממוצע ההנדסי של האיבר הקודם לו והאיבר העוקב לו.

מקובל לסמן את האיבר במקום ה-${\displaystyle n}$  בצורה ${\displaystyle a_{n}}$  (את האות ${\displaystyle a}$  עשויה להחליף אות אחרת). אם ידוע לנו האיבר הראשון (מסומן ${\displaystyle a_{1}}$ ) ומנת הסדרה (הקבועה לכל אורכה; מקובל לסמן אותה באות ${\displaystyle q}$ ), אז ערכו של האיבר במקום ה-${\displaystyle n}$  נתון בנוסחה:

$${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}=a_{1}\cdot \underbrace {q\cdot q\cdot \cdots \cdot q} _{n-1\ {\rm {times}}}}$$

 

האיבר הכללי

תהי סדרה ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ . נאמר שהסדרה הנדסית, אם קיים ${\displaystyle q}$  כך שלכל ${\displaystyle n\geq 1}$ ,

${\displaystyle a_{n+1}=q\cdot a_{n}}$ 

מההגדרה נובע כי ניתן לאפיין כל סדרה הנדסית בעזרת שני ערכים:

• ${\displaystyle a_{1}}$  – האיבר הראשון בסדרה
• ${\displaystyle q}$  – מנת הסדרה

במילים אחרות, הסדרה מוגדרת על ידי נוסחת נסיגה, ${\displaystyle a_{n+1}=q\cdot a_{n}}$ , עם ערך התחלתי ${\displaystyle a_{1}}$ .

ההגדרה לפי נוסחת הנסיגה שקולה להגדרה לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה:

$${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$$

 

מקובל לסמן את סכום האיברים בסדרה (כלשהי) ${\displaystyle S=a_{1}\sum _{n=N_{1}}^{N_{2}}q^{n}\displaystyle }$ , כאשר ${\displaystyle N_{1}}$  ו - ${\displaystyle N_{2}}$  הם הגבולות הרצויים.

מקרה פרטי הוא סכימה מהאיבר במקום ה-1 ועד האיבר במקום ה-${\displaystyle n}$  (ועד בכלל). מקובל לסמן סכום זה בביטוי ${\displaystyle S_{n}}$ , ניתן לחשב את הסכום ישירות, על ידי חיבור כל הערכים.

עם זאת, במקרה של סדרה הנדסית קיימת גם נוסחה סגורה;

עבור המקרה הכללי:

$${\displaystyle S=a_{1}\left({\frac {q^{N_{1}}-q^{{N_{2}}+1}}{1-q}}\right)}$$

 

ועבור המקרה הפרטי:

$${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}}}$$

 

למשל, סדרה הנדסית סופית שמנתה היא 3, האיבר הראשון שלה הוא 2, ומספר איבריה הוא 5. בפירוש:

${\displaystyle 162,54,18,6,2.}$ 

ניתן לסכום את הסדרה בפירוש,

${\displaystyle 2+6+18+54+162=242}$ 

הנוסחות שמופיעה לעיל נותנות את אותו סכום, ללא סכימה מפורשת:

לפי הנוסחה הכללית:
${\displaystyle S=2\cdot \sum _{n=0}^{4}{3^{n}}=2\cdot {\frac {3^{0}-3^{4+1}}{1-3}}=2\cdot {\frac {1-243}{-2}}=242}$ 
לפי הנוסחה הפרטית:
${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {2\cdot (3^{5}-1)}{3-1}}={\frac {2\cdot (243-1)}{2}}=242}$ 

חשיבותה של הנוסחה מתבררת כאשר מעוניינים לסכום עד ${\displaystyle n}$  גדול. במקרה כזה, סכימה ידנית עשויה להיות מייגעת, ואילו הזמן שלוקח לחשב את הנוסחה הוא בערך קבוע.

הוכחת הנוסחה

על פי הגדרת הסדרה ההנדסית:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\\&=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}\end{aligned}}}$ 

הוספת האיבר הבא בסדרה נותנת את הסכום הבא בתור:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+1}&=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}\\&=\left(a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}\right)+a_{1}q^{n}\\&=S_{n}+a_{1}q^{n}\end{aligned}}}$ 

ואחרי סידור חדש, מתקבל

${\displaystyle S_{n+1}-S_{n}=a_{1}q^{n}\quad \quad (1)}$ 

מצד שני,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+1}&=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n}\\&=a_{1}+q\left(a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}\right)\\&=a_{1}+q\cdot S_{n}\end{aligned}}}$ 

לכן:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+1}-S_{n}&=a_{1}+qS_{n}-S_{n}\\&=a_{1}+S_{n}(q-1)\end{aligned}}}$ 

הצבה של משוואה ${\displaystyle (1)}$  נותנת:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+S_{n}(q-1)&=a_{1}q^{n}\\S_{n}(q-1)&=a_{1}q^{n}-a_{1}\\S_{n}(q-1)&=a_{1}(q^{n}-1)\end{aligned}}}$ 

כדי להימנע מחלוקה באפס, נחלק למקרים:

• אם ${\displaystyle q=1}$ , הסדרה ההנדסית היא גם סדרה קבועה, שכל איבריה זהים, שכן 1 הוא איבר היחידה ביחס לפעולת הכפל. במקרה כזה נוסחת הסכום פשוטה לחישוב: ${\displaystyle S_{n}=n\cdot a_{1}}$ .
• אחרת, ניתן לחלק את האגף הימני והשמאלי ב- ${\displaystyle (q-1)}$ , ותתקבל הנוסחה:
  ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}}$ 

לעיתים מתחילים את אינדקס הספירה ${\displaystyle n}$  מ-0, ואז הנוסחה לאיבר כללי מקבלת את הצורה:

$${\displaystyle a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}}$$

 

$${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{0}(q^{n+1}-1)}{q-1}}}$$

 

  ערך מורחב – סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מנוסחת סכום סדרה הנדסית ניתן לראות, שאם ${\displaystyle |q|<1}$ , גם אם מספר האיברים שואף לאינסוף (סוכמים "אינסוף איברים"), סכום הסדרה יהיה סופי (כלומר, מתכנס למספר מסוים), כיוון ש-${\displaystyle q^{n}\to 0}$ .

לכן, סכום הטור האינסופי מוגדר להיות גבול סדרת הסכומים החלקיים, והוא

${\displaystyle S_{\infty }:=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}}$ .

אם הגבול של סכום סדרה אינסופית קיים, אז הסכום נקרא טור מתכנס. בפרט, להתכנסות של הטור ההנדסי חשיבות רבה, שכן קיימים מבחני התכנסות לטורים אשר מתבססים על היכולת להשוות את הטור האינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.

• סדרה (מתמטיקה)
• סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת
• סדרה חשבונית
• טור (מתמטיקה)
• נוסחת נסיגה
• התפלגות גאומטרית

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: סדרה הנדסית
ספר לימוד בוויקיספר: סדרות הנדסיות

• מחשבון סכום של סדרה הנדסית, באתר icalc
• סדרה הנדסית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• סדרה הנדסית, באתר MathWorld (באנגלית)