גאומטריה היפרבולית: תורה גאומטרית לא אוקלידית

דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה.

במהלך השנים שאחרי פרסום הספר "יסודות" של אוקלידס (שלימים היווה את הבסיס לגאומטריה שנקראת על שמו: "גאומטריה אוקלידית"), הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו יתר האקסיומות של הגאומטריה. תחושה זו הביאה לניסיונות חוזרים ונשנים להוכיח את האקסיומה החמישית כמשפט גאומטרי. כל הניסיונות מסוג זה כשלו, עד שבמאה ה-19, המתמטיקאים גאוס, בויאי ולובצ'בסקי הגיעו במקביל (כל אחד בנפרד) למסקנה שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הגיעו להבנה, שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית המוכרת. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, סכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות.

גאומטריה היפרבולית מישורית היא גם הגאומטריה שמתקיימת על פני משטחים "אוכפיים" בכל מקום או משטחים פסאודוספיריים, דהיינו משטחים עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה.

ישרים

לישרים יחידים בגאומטריה היפרבולית יש בדיוק אותן תכונות כמו קווים ישרים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, שתי נקודות מגדירות ישר היפרבולי יחיד, וניתן להמשיך את הישרים (לשני הכיוונים) במידה אינסופית.

לזוג ישרים נחתכים יש בדיוק אותן תכונות כמו לזוג ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. למשל, שני ישרים לעולם לא נחתכים ביותר מנקודה אחת, הזוויות הקודקודיות שנוצרות בנקודת החיתוך שוות, וכמו כן זוויות צמודות הן משלימות ל-180 מעלות.

כאשר מוסיפים ישר שלישי אז התכונות של ישרים היפרבוליים נחתכים הופכות שונות מאלו של ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית. לדוגמה, בהינתן 2 ישרים נחתכים ישנם אינסוף ישרים היפרבוליים שאינם חותכים את אף אחד מצמד הישרים הנתונים.

כל התכונות הללו אינן תלויות במודל של המישור ההיפרבולי בו משתמשים, אף על פי שהישרים עשויים להיראות שונים ביותר במודלים שונים.

ישרים לא נחתכים/מקבילים

 

לישרים לא נחתכים בגאומטריה היפרבולית יש תכונות ששונות מאלו של ישרים לא נחתכים בגאומטריה אוקלידית:

בעבור כל ישר R ונקודה P שלא נמצאת על R, אז במישור שמכיל את הישר R והנקודה P ישנם לפחות שני ישרים שונים דרך P שלא חותכים את R.

פירוש הדבר שדרך P ישנם אינסוף ישרים שנחים באותו מישור ואינם חותכים את R.

את הישרים הלא-נחתכים הללו נהוג לחלק לשתי קבוצות:

• שניים מהישרים (x ו-y באיור משמאל) הם "מקבילים גבוליים" (limiting parallels): ישנו אחד כזה בכיוון של כל אחד מהנקודות האידיאליות (נקודות באינסוף) שב"קצוות" של R, וכל אחד כזה מתקרב אסימפטוטית ל-R, אך לעולם אינו פוגש אותו.
• לכל אחד מהישרים הלא-נחתכים האחרים יש נקודה של מרחק מינימלי מ-R והם מתבדרים מן הישר בשני צידיה של הנקודה הזאת. ישרים אלו מכונים "אולטרה-מקבילים" (ultraparallel), ולעיתים גם "מקבילים מתבדרים".

ישנם מחברים שמשתמשים במונח ישרים "מקבילים" כדי להתייחס ל"מקבילים גבוליים" ובמונח ישרים "בלתי נחתכים" כדי להתייחס לקווים "אולטרה-מקבילים".

המקבילים הגבוליים הללו יוצרים זווית θ עם PB; זווית זו תלויה רק בעקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי בו עוסקים ובמרחק PB והיא נקראת זווית ההקבלה.

בעבור קווים אולטרה-מקבילים, משפט הקווים האולטרה-מקבילים קובע כי ישנו ישר יחיד במישור ההיפרבולי שניצב לצמד ישרים אולטרה-מקבילים.

משולשים

בשונה ממשולשים אוקלידיים, בהם הזוויות תמיד נסכמות ל-π רדיאנים (180 מעלות), בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות של משולש היפרבולי תמיד קטן מ-π רדיאנים. את ההבדל מכנים מגרעת זוויתית.

השטח של משולש היפרבולי ניתן על ידי מכפלת המגרעת הזוויתית שלו (ברדיאנים) ב-R² (כאן R הוא רדיוס העקמומיות המתאים למישור ההיפרבולי הנידון). כתוצאה ישירה, לכל המשולשים ההיפרבוליים יש שטח שקטן או שווה ל-R²π. השטח של משולש אידיאלי (משולש שכל צלעותיו אסימפטוטיות זו לזו) שבו כל הזוויות הן 0° שווה לחסם העליון הזה. בכך נעוץ אחד ההבדלים המהותיים בין הגאומטריה ההיפרבולית לאוקלידית - לגאומטריה היפרבולית יש קנה מידה אבסולוטי טבעי; קיים קשר בין תוצאות מדידות של מרחק לתוצאות מדידת זוויות.

בדומה לגאומטריה כדורית או אליפטית, בגאומטריה היפרבולית אם שני משולשים דומים אז הם בהכרח חופפים.

מעגלים ודיסקים

בגאומטריה היפרבולית, ההיקף של מעגל בעל רדיוס r גדול יותר מ-${\displaystyle 2\pi r}$ .

יהי ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$ , כאשר ${\displaystyle K}$  היא עקמומיות גאוס של המישור. בגאומטריה היפרבולית, העקמומיות ${\displaystyle K}$  שלילית, כך שהשורש הריבועי מקודם הוא מספר חיובי.

ההיקף של מעגל בעל רדיוס r שווה ל-:

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$ 

והשטח של הדיסק התחום במעגל זה הוא:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.}$ 

לפיכך, בגאומטריה היפרבולית היחס בין היקף המעגל לרדיוסו תמיד גדול יותר מ-${\displaystyle 2\pi }$ , על אף שניתן להתקרב ליחס זה באופן שרירותי באמצעות בניית מעגל קטן מספיק.

אם עקמומיות גאוס של המישור היא 1- אז העקמומיות הגיאודזית של מעגל בעל רדיוס r היא: ${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$ .

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית (כלומר, שאין בה סתירות) היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר, שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך אירוני), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין, שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה גם על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).

את המישור ההיפרבולי ניתן לאפיין, כמרחב עם תבנית דיפרנציאלית, כמשטח רימן שלם פשוט קשר בעל עקמומיות ${\displaystyle \ -1}$  בכל נקודה. מבחינה טופולוגית, הוא מהווה כיסוי אוניברסלי לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.

למישור ההיפרבולי יש כמה מודלים מקובלים, שכולם ניתנים לתיאור ובנייה במסגרת הגאומטריה האוקלידית:

• מודל הדיסק של פואנקרה (שהתגלה ב-1868 על ידי בלטרמי (אנ')), המישור ההיפרבולי הוא עיגול, ששפתו היא מעגל מסוים. הקווים הישרים במודל זה הם כל הקשתות של מעגלים שהם מאונכים למעגל השפה, וכן הקטרים של העיגול. במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית: ${\displaystyle ds^{2}={\frac {4(dx^{2}+dy^{2})}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}}$ ; אלמנט מרחק זה גדל עד לאינסוף ככל שמתקרבים לשפת העיגול, בהתאמה עם כך ששפת העיגול מייצגת את כל הנקודות האידיאליות ("נקודות באינסוף").

• במודל של הנדריק לורנץ, המישור ההיפרבולי הוא המחצית העליונה של היריעה ${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$ , כאשר כל קו ישר הוא חיתוך של היריעה עם מישור (אוקלידי) העובר דרך ראשית הצירים.
  • מגרסה תלת-ממדית של מודל זה אפשר לגזור את מודל הדיסק של קליין.

• המודל הרביעי, גם הוא מיוחס לפואנקרה, הוא החשוב ביותר. זהו מודל חצי המישור העליון, שבו המישור ההיפרבולי מזוהה עם החצי ${\displaystyle \ \{z:\Im (z)>0\}}$  של המישור המרוכב, והקווים הישרים הם חצאי מעגלים המאונכים לציר ה-X, והישרים המקבילים לציר ה-Y. במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית ${\displaystyle \ ds={\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}{y}}}$ .

• מרחב היפרבולי

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: גאומטריה היפרבולית
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: גאומטריה היפרבולית

• גאומטריה היפרבולית, באתר MathWorld (באנגלית)
• גאומטריה היפרבולית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
•   גאומטריה, היפרבולית, דף שער בספרייה הלאומית