Kombinaatio

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

k-kombinaatio on joukon S osajoukko, jossa on k kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole merkitystä kombinaatioissa: kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä, esittävät samaa kombinaatiota. Sen sijaan variaatiossa jäsenten järjestyksellä on merkitystä eli eri järjestys on eri variaatio.

k-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "n yli k:n", joka kirjoitetaan yleensä

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$,

missä

k = kombinaation jäsenten lukumäärä,
n = pääjoukon S jäsenten lukumäärä.

Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä.

Oheisessa taulukossa on eräitä kombinaation C(n, k) arvoja. Erityisesti C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n ja C(n, n) = 1. Voidaan myös kirjoittaa differenssiyhtälö C(n, k) = C(n – 1, k) + C(n – 1, k – 1) eli taulukkoarvo saadaan kahden aikaisemmin lasketun summana. Edelleen havaitaan, että sarakkeella n olevien lukujen summa on ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C(n,k)=2^{n}}$

k   luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa 6   1 5   1 6 4   1 5 15 3   1 4 10 20 2   1 3 6 10 15 1   1 2 3 4 5 6   0   1 1 1 1 1 1 1   0   1   2   3   4   5   6 n 1 2 4 8 16 32 64 ${\displaystyle 2^{n}}$

Kombinaatio voidaan esittää myös lukumäärän laskemista kuvaavilla summalausekkeilla:

${\displaystyle {\binom {n}{1}}=\sum _{i=1}^{n}1}$,

${\displaystyle {\binom {n}{2}}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}1}$,

${\displaystyle {\binom {n}{3}}=\sum _{i=1}^{n-2}\sum _{j=i+1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}1}$, jne.

Esimerkki 1.

 

C(5, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa viiden henkilön joukosta. Lasketaan se:

${\displaystyle {5 \choose 3}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{3!\cdot 2!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{3!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{6}}=5\cdot 2=10.}$ 

Esimerkki 2.

Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan k numeroa oikein ${\displaystyle (0\leq k\leq 7)}$ :

Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaan laskemalla kaikki 7:n oikean numeron k-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita k numeroa (muista, että k on korkeintaan 7):

${\displaystyle {7 \choose k}}$ 

Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla:

${\displaystyle {7 \choose k}{32 \choose 7-k}}$ 

siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen k numeroa oikein ja 7-k väärin.

Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä ${\displaystyle {39 \choose 7}}$ :

${\displaystyle {7 \choose k}{32 \choose 7-k}:{39 \choose 7}}$ 

Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on

${\displaystyle {7 \choose 5}{32 \choose 7-5}:{39 \choose 7}={7 \choose 5}{32 \choose 2}:{39 \choose 7}=21\cdot 496:15380937=10416:15380937\approx 1:1477\approx 0{,}0006772}$ 

• Permutaatio

•   Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kombinaatio Wiki Commonsissa