Riemannen Geometria

Riemannen barietateak Riemannen metrikan oinarritutako barietateak dira. Espazio tangentearen puntuetan biderkadura eskalarra dute, puntuz puntu leun aldatuz doana. Horrek, angeluaren, arku-luzeraren, gainazalen azaleraren eta bolumenaren nozio lokalak ematen ditu. Horietatik, beste kantitate global batzuk erator daitezke integrala aplikatuz.

Riemann-en geometria Bernhard Riemannek "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("Geometriaren oinarri diren hipotesiei buruz") izenburuarekin eman zuen inaugurazio-hitzaldiarekin hasi zen. R³-ko gainazalen geometria diferentzialaren orokortze zabal eta abstraktua da. Riemannen-en geometriaren garapenak gainazalen geometria eta haien geodesikoen portaera sistetizatu ahal izatea ekarri zuen, eta dimentsio handiagoko barietate diferentziagarriak aztertzeko erabil daitezkeen teknikak aplikatu ahal izatea. Horri esker, Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorra formulatu ahal izan zen. Gainera, eragin handia izan zuen talde-teorian eta errepresentazioaren teorian, eta topologia aljebraikoaren eta topologia diferentzialaren garapena bultzatu zituen.

 

Riemannen geometria Bernhard Riemannek aurkeztu zuen lehen aldiz XIX. mendean. Puntu batetik bestera propietate metriko desberdinak dituzten geometriak aztertzen ditu, baita geometria ez-euklidestar mota estandarrak ere.

Barietate leunek Riemannen metrika onartzen dute, eta horrek, maiz, topologia diferentzialeko problemak ebazten laguntzen du. Halaber, konplexuagoak diren barietate sasi-Riemanndarrak (edo, erdi-Riemandarrak) aztertzeko ere balio du. Egitura horiek lau dimentsiotan, erlatibitate orokorraren teoriaren objektu nagusiak dira. Riemannen geometriaren beste orokortze bat Finsler-en geometria da.

Geometria diferentzialak eta kristal erregularretan sortzen diren akatsen egitura matematikoek badute halako antzekotasun bat haien artean. Dislokazioek (Taylor's dislocation) eta desklinazioek (disclination) bihurdurak eta kurbadurak eragiten dituzte.

Sarrera moduan, honakoak irakurtzea komeni da:

• Metrika tentsore
• Riemannen barietate
• Levi-Civita konexio
• Kurbadura
• Riemann-en kurbadura-tentsore
• Geometria diferentzialeko gaien zerrenda
• Riemannen geometriari eta geometria metrikoari buruzko glosategi

Jarraian, Riemannen geometriako teorema klasikoen zerrenda bat aurkezten da. Formulazioaren garrantziaren arabera aukeratuak izan dira. Emaitza gehienak Jeff Cheeger-en eta D. Ebin-enen monografia klasikoan aurki daitezke.

Teorema orokorrak

1. Gauss–Bonnet-en teorema. Bi dimentsioko Riemannen-en barietate trinko batean, Gauss-en kurbaturaren integrala 2πχ(M) da, non χ(M) notazioaren bidez Eulerren karakteristika adierazten den. Teorema honen orokorpena existitzen da, dimentsio bikoitiko Riemannen-en barietate trinkoetarako (Gauss-Bonnet-en teorema orokortua).
2. Nash-en txertatze-teoremak (Nash embedding). Teorema horien arabera, Riemannen barietateak Rⁿ espazio euklidear batean txertatuak egon daitezke modu isometrikoan.

Geometria handia

Ondorengo teorema guztietan, espazioaren portaera lokalen bat suposatzen da. Normalean kurbaduraren suposizioa eginez formulatzen dira eta horri esker, espazioaren egitura globalari buruzko informazioa lortzen da, hala nola, barietatearen topologia motari buruzko informazioa edo nahi adina distantzia handira dauden puntuen portaerari buruzko informazioa.

Atalkako kurbadura zurbila (pinched sectional curvature)

1. Esferaren teorema.
2. Cheeger-en finitutasunaren teorema.
3. Gromov-en barietate ia lauak

Behetik bornatutako atalkako kurbadura

1. Cheeger–Gromoll-en soul teorema.
2. Gromov-en Betti-zenbakiaren teorema.
3. Grove–Petersen-en finitutasunaren teorema.

Goitik bornatutako atalkako kurbadura

1. Cartan–Hadamard-en teorema.

Behetik bornatutako Ricciren kurbadura

1. Myers-en teorema.
2. Bochner-en formula.
3. Splitting-teorema.
4. Bishop–Gromov inekuazioa.
5. Gromov-en trinkotasun-teorema.

Ricci-ren kurbadura negatiboa

1. Ricci-ren kurbadura negatiboa duen Riemannen barietate trinkoen isometria talde diskretua da.
2. n ≥ 3 dimentsioko barietate leunek Ricci-ren kurbadura negatiboko Riemannen metrika onartzen dute (gainazaletan ez da betetzen).

Eskalar positiboko kurbadura

1. n-dimentsioko toruak ez du eskalar positiboko kurbadura duen metrikarik onartzen.
2. n-dimentsioko Riemannen barietate trinkoaren injektibotasun erradioa (injectivity radius) ≥ π bada, orduan batez besteko kurbadura eskalarra n(n-1) izango da, gehienez.

Liburuak

• Berger, Marcel. (2000). Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century. in: University Lecture Series. 17 American Mathematical Society ISBN 0-8218-2052-4... (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G.. (2008). Comparison theorems in Riemannian geometry. AMS Chelsea Publishing.; Revised reprint of the 1975 original.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques. (2004). Riemannian geometry. in: Universitext. (3rd. argitaraldia) Springer-Verlag..
• Jost, Jürgen. (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2...
• Petersen, Peter. (2006). Riemannian Geometry. Springer-Verlag ISBN 0-387-98212-4..
• From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, eta Sumio Yamada, Eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 p. ISBN 978-3-319-60039-0

Artikuluak

• Brendle, Simon; Schoen, Richard M.. (2008). «Classification of manifolds with weakly 1/4-pinched curvatures» Acta Math 200: 1–13.  doi:10.1007/s11511-008-0022-7. Bibcode: 2007arXiv0705.3963B..

• V. A. Toponogov-en Riemannaren Geometria Matematikako Entziklopedian
• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Riemannian Geometry" MathWorld-en.