Poligono Erregular

Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).

Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).

• Aldea (L): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitza
• Erpina (V): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntua
• Zentroa (C): erpinetatik distantziakidea den puntua
• Erradioa (r): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkia
• Apotema (a): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkia
• Diagonala (d): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkia
• Perimetroa (P): alde guztien luzeren batura

• n aldeko poligono erregularrak n ordenako biraketa-simetria du.

• Erpin guztiak zirkunferentzia berean daude (zirkunferentzia zirkunskribatua); hau da, erpinak ziklokideak dira. Beraz, poligono erregularrak ziklikoak dira.

• Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira.

• Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira.

 

Angelu zentrala

• Poligono erregular baten angelu zentralak (${\displaystyle \alpha \,}$ ) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n) arabera:

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$  (gradu hirurogeitarretan)

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}$  (radianetan)

Barne-angelua

• Poligono erregular baten barne-angelua (${\displaystyle \beta \,}$ ) honela kalkula daiteke:

${\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$  (gradu hirurogeitarretan)

${\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$  (radianetan)

• Poligono erregular baten barne-angeluen batura (${\displaystyle \sum \beta \;}$ ), beraz:

${\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}$  (gradu hirurogeitarretan)

${\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}$  (radianetan)

Kanpo-angelua

• Poligono erregular baten kanpo-angelua (${\displaystyle \gamma \;}$ ) honela kalkula daiteke:

${\displaystyle \gamma ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$  (gradu hirurogeitarretan)

${\displaystyle \gamma ={\frac {2\pi }{n}}\;}$  (radianetan)

• Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura (${\displaystyle \sum \gamma \,}$ ), beraz:

${\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}$  (gradu hirurogeitarretan)

${\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}$  (radianetan)

•  
  Triangelu aldeberdina (triangelu erregularra) (3)
•  
  Karratua (lauki erregularra) (4)
•  
  Pentagono erregularra (5)
•  
  Hexagono erregularra (6)
•  
  Heptagono erregularra (7)
•  
  Oktogono erregularra (8)
•  
  Eneagono erregularra (9)
•  
  Dekagono erregularra (10)
•  
  Endekagono erregularra (11)
•  
  Dodekagono erregularra (12)
•  
  Tridekagono erregularra (13)
•  
  Tetradekagono erregularra (14)

Oharra: Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.

Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:

Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}$ 

Froga

Poligonoaren aldea L triangeluaren oinarria da, eta a apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera, ${\displaystyle A_{h}}$ , hau da: ${\displaystyle A_{h}={\frac {L\cdot a}{2}}\;}$  n aldeko poligonoak n triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da: ${\displaystyle A={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}$  L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu: ${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}\;}$

Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera

${\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ }$ 

Froga

Hau jakinda: ${\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\ }$  eta ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }$  kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan). trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke: ${\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$  Aldea azalerarako formulan ordezkatuta: ${\displaystyle A={\frac {(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right))\cdot n\cdot a}{2}}\ }$  Azkenik: ${\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ }$

Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera

${\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}$ 

Froga

Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke: ${\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}$  ${\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}$  non angelu zentrala hau den: ${\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$  Poligonoaren azalera hau denez: ${\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}$  eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu: ${\displaystyle A={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}$  Ordenatuta: ${\displaystyle A={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}$  Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau: ${\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}$  Emaitza hau da: ${\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}$  Edo beste era honetan: ${\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}$

Azalera: aldearen arabera

${\displaystyle A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}$ 

Froga

Poligonoaren azalera hau denez: ${\displaystyle A=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}\;}$  Erabil dezagun ${\displaystyle \varphi }$  sinboloa "L" aldearen eta "r" erradioaren arteko angelua izendatzeko: ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}{\frac {(n-2)}{n}}\;}$  Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera): ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}$  Apotema askatuz gero, hau dugu: ${\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}$  Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}$

 

Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz.

Alde, angelu eta erpin kopurua	Poligonoa	Irudia	Barne-angelua	Aldea	Azalera	Animazioa: eraikitze grafikoa erregela eta konpasa erabiliz
3	Triangelu aldeberdina		60°	√3≅1,732	3/4·√3≅1,299	Eraikitze zehatza
4	Karratua		90°	√2≅1,414	2	Eraikitze zehatza
5	Pentagonoa		108°	≅1,176	≅2,378	Eraikitze zehatza
6	Hexagonoa		120°	1	3/2·√3≅2598	Eraikitze zehatza
7	Heptagonoa		≅128,57°	≅0,868	≅2,736	Gutxi gorabeherako eraikitzea
8	Oktogonoa		135°	≅0,765	2·√2≅2,828	Eraikitze zehatza
9	Eneagonoa		140°	≅0,684	≅2,893	Gutxi gorabeherako eraikitzea
10	Dekagonoa		144°	≅0,618	≅2,939	Eraikitze zehatza
11	Endekagonoa		≅147,27°	≅0,563	≅2,974	Gutxi gorabeherako eraikitzea
12	Dodekagonoa		150°	≅0,518	3	Eraikitze zehatza
13	Tridekagonoa		≅152,31°	≅0,479	≅3,021	Gutxi gorabeherako eraikitzea
14	Tetradekagonoa		≅154,29°	≅0,445	≅3,037	Gutxi gorabeherako eraikitzea
15	Pentadekagonoa		156°	≅0,416	≅3,051	Eraikitze zehatza
16	Hexadekagonoa		157,5°	≅0,390	≅3,061	Eraikitze zehatza
17	Heptadekagonoa		≅158,82°	≅0,367	≅3,071	Eraikitze zehatza 34-gonoa, 51-gonoa 85-gonoa, 255-gonoa
18	Oktodekagonoa		160°	≅0,347	≅3,078	Gutxi gorabeherako eraikitzea
19	Eneadekagonoa		≅161,05°	≅0,329	≅3,085	Gutxi gorabeherako eraikitzea
20	Ikosagonoa		162°	≅0,313	≅3,090	Eraikitze zehatza
257	257-gonoa		≅178,6°	≅0,024	≅3,141	Eraikitze zehatza
65.537	65.537-gonoa		≅179,9945°	≅0,000096	≅3,1416	Eraikitze partziala