Vico De Fourier: Malkompono de perioda funkcio kiel sumo de sinusoj kaj kosinusoj

 

En la naturo kaj teĥniko okazas multegaj periodaj procezoj. Ekzemplo: muzika tono, osciladoj en radioteĥniko, televido, elektroniko. Tiujn gravajn periodajn procezojn la homaro konas ekde jarmiloj kaj bezonas matematikan ilon por priskribi ilin. Jam en 18a jarcento la matematikistoj konis tian matematikan prezenton de kelkaj periodaj funkcioj kiel malkompono en trigonometria vico. La franca matematikisto Joseph Fourier malkovris en 19a jarcento kaj publikis en sia verko Théorie analytique de la chaleur, ke periodaj funkcioj estas prezenteblaj kiel trigonometriaj vicoj. Fourier ankaŭ proponis elegantan manieron de komputado de vico por periodaj funkcioj. Poste kelkaj matematikistoj dum 19a jarcento (ekz. Dirichlet) precizigis la matematikajn kondiĉojn, kiam la funkcio estas prezentebla kiel vico de Fourier. Lennart Carleson en 20a jarcento pruvis, ke la teorio de Fourier estas ĝusta por popece kontinuaj funkcioj, se la nocion de konvergenco iom malfortigi. Cetere tiu klaso de funkcioj enhavas praktike ĉiujn funkciojn okazantaj en naturo kaj teĥniko. Tial la vicoj de Fourier havas grandegan praktikan valoron.

La kompreno de tiu ĉi artikolo postulas konojn en matematiko, nome en trigonometrio, matematika analizo.

Vicoj de Fourier estas prezenteblaj en tri ekvivalentaj formoj: sinus-kosinusa prezento, amplituda-faza prezento kaj kompleksa prezento.

Sinus-kosinusa prezento

Funkcion ${\displaystyle f}$  kun periodo ${\displaystyle T>0}$  povas esti prezentita per vico de sinusoj kaj kosinusoj, kies frekvencoj estas opoj de baza frekvenco ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$  :

${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cdot \cos(k\omega t)+b_{k}\cdot \sin(k\omega t)).}$ 

La angula rapido ${\displaystyle \omega }$  skalas ĉi tie la periodon ${\displaystyle 2\pi }$  de sinuso kaj kosinuso sur rilata periodo ${\displaystyle T}$ . Ĉe praktika uzo oni interrompas la vicon post fina kvanto de membroj. Oni obtenas tiam nur proksimigon de ${\displaystyle f}$  en formo de trigonometria polinomo:

${\displaystyle f_{n}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cdot \cos(k\omega t)+b_{k}\cdot \sin(k\omega t)).}$ 

Tiun ĉi finan sumon oni nomigas Parta sumo ${\displaystyle f_{n}(t)}$  de la vico de Fourier. Grava propreco de tiu ĉi parta sumo: tiu trigonometria polinomo havas inter ĉiuj trigonometriaj polinomoj de sama strukturo minimuman mezkvadratan malprecizecon rilate al origina funkcio ${\displaystyle f}$ .

La koeficientoj de la malkompono de ${\displaystyle f}$  estas:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {2}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\cdot \cos(k\omega t)\,\mathrm {d} t\\[.7em]b_{k}&={\frac {2}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\cdot \sin(k\omega t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$ 

La delokigo de la intervalo ${\displaystyle c}$  servas por simpligo kaj povas esti elektita iu ajna.

${\displaystyle \displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}={\frac {1}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\,\mathrm {d} t}$  estas konstanta parto.

Simplaj proprecoj de malkompono:

• ${\displaystyle b_{k}=0}$  por ĉiuj ${\displaystyle k}$ , se ${\displaystyle f}$  estas para, ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ,
• ${\displaystyle a_{k}=0}$  por ĉiuj ${\displaystyle k}$ , se ${\displaystyle f}$  estas malpara, ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ .

Se la origina funkcio estas nekonata aŭ estas disponeblaj nur certaj ciferecaj datoj (ekzemple datoj de mezuro), oni alproksimigas ${\displaystyle a_{k}}$ , ${\displaystyle b_{k}}$  nur el apogaj punktoj (Trigonometria interpolado).

Amplituda-faza prezento

En la supra prezento la signalo konsistas el sinusa kaj kosinusa spektro. Sed ekzistas ankaŭ prezento per fazo kaj Amplitudo, ĉar oni povas prezenti la sumon de sinuso kaj kosinuso kiel kosinusa oscilado kun delokiga fazo:

${\displaystyle \displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos(n\omega t-\varphi _{n}))}$ 

Oni kalkulas ${\displaystyle A_{n}}$  kiel:

${\displaystyle \displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$ .

La komputado de ${\displaystyle \varphi _{n}}$  estas sufiĉe laborplena.

Kompleksa prezento

Oni povas ĉiun paron (amplitudo kaj fazo) prezenti kiel kompleksan nombron en polusaj koordinatoj.

${\displaystyle \displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}}$ 

kie

${\displaystyle \displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{c}^{c+T}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t}dt}$ 

La konverĝeco havas pli teorian rolon ol praktikan, ĉar la vicoj de Fourier de funkcioj okazantaj en teĥniko, kutime konverĝas bone. Oni nomas serio de Fourier finian sumon de la elementoj de vico de Fourier, kiu konverĝas.

Teoremo de Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet pruvis, ke la vico de Fourier de diferencialebla perioda funkcio, ${\displaystyle 2\pi }$  popunkte konverĝas al funkcio origina.

Ĉe kondiĉo, ke ${\displaystyle f}$  eĉ estas kontinue diferencialebla, la teoremo plifortiĝas.

Se ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  estas kontinue diferencialebla funkcio kun periodo ${\displaystyle 2\pi }$ , tiam la vico de Fourier de ${\displaystyle f}$  konvergas egalmezure al ${\displaystyle f}$ .

Teoremo de Carleson

La teoremo de Carleson estas profunda rezulto pri konverĝeco de Fourier-vicoj.

Se ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$  kvadrate integrebla funkcio, tiam la vico de Fourier konverĝas preskaŭ ĉie.

Teoremo de Fejér

Leopold Fejér pruvis, ke la aritmetika meznombro de partaj sumoj de Fourier-vico de kontinua, ${\displaystyle 2\pi }$ -perioda funkcio konverĝas egalmezure al la funkcio.

Triangulaj impulsoj

 

La triangula funkcio alproksimiĝas per sinusoj aŭ kosinusoj ĉe tauga fazo. Se la triangulo ne estas en tiuj ĉi du fazoj, la malkomponaĵo enhavas ambaŭ - sinusojn kaj kosinusojn. La amplitudon ${\displaystyle h}$  de la kurbo oni kalkulas per la formulo

${\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&-{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\left[{\cos {\omega t}+{\frac {1}{3^{2}}}\cos {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\cos {5\omega t}+\cdots }\right]\\[.6em]=&-{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\cos((2k-1)\omega t)}{(2k-1)^{2}}}\end{array}}}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\left[{\sin {\omega t}-{\frac {1}{3^{2}}}\sin {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\sin {5\omega t}\mp \cdots }\right]\\[.6em]=&{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\dfrac {\sin((2k-1)\omega t)}{(2k-1)^{2}}}\end{array}}}$ 

Rektangulaj impulsoj

 

La rektangulan osciladon prezentas la esprimo

${\displaystyle u(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{ wenn }}0\leq \omega t<\pi \\-1,&{\mbox{ wenn }}\pi \leq \omega t<2\pi \end{cases}}\qquad u(t+2\pi /\omega )=u(t),\omega =1*1/s}$ 

Sekve, la funkcio havas periodon ${\displaystyle 2\pi }$ . Jen la vico:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)=&{\frac {4}{\pi }}\left(\sin \omega t+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+{\frac {1}{7}}\sin(7\omega t)+\cdots \right)=&{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\sin \left((2k-1)\omega t\right)}{2k-1}}.\end{aligned}}}$ 

Kiel la triangulajn impulsojn, ankaŭ la rektangulajn oni prezentas per senfina vico. Oni ofte uzas rektangulajn impulsojn en elektroniko por testi elektronikajn cirkvitojn por frekvenca konduto.

Akustiko kaj muziko

En akustiko pli taŭgas la amplituda-faza prezento de sono. Pli ekzakte, nur amplituda prezento ĉar homo ne distingas sonojn kun samaj amplitudoj kaj diversaj fazoj. Kontraŭe, eĉ malgrandajn ŝanĝojn de amplitudoj homo aŭdas kiel ŝanĝon de sonkoloro. Sekve la sonkoloron difinas nur la amplituda spektro. Ĉiun kutiman (ne elektronikan) muzikilon karakterizas propra sonkoloro. La plimulto de elektronikaj muzikiloj kapablas krei tonojn kun diversaj sonkoloroj imitante diversajn tradiciajn muzikilojn.

• Transformo de Fourier
• Rapida transformo de Fourier
• Trigonometria sekvenco

• Falstad Fourier Series Java Applet Tiu ĉi Java-apleto montras malkomponon en vicon Fourier (en la germana).
• Mathe-Online Fourier Applet Alia apleto.
• Bernhard Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (en la germana)
• Spektren periodischer Zeitfunktionen (PDF) Malkompono de Fourier per fizika mofelado. (311 kB) (en la germana)
• Michael Gaedtke: Fourier - so einfach wie möglich^{[rompita ligilo]} Kompleksaj signaloj el naturaj osciladoj – Fourier-vico, Fourier-sintezo kaj Fourier-analizo (en la germana)

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Изд-во Ленингр. ун-та Л.,1983, стр.188. Zxuk V.V., Natanson G.I. Trigonometriaj vicoj de Fourier kaj elementoj de teorio de alproksimado. Eldono de Leningrada universitato, Leningrado, 1983, 188 ppaĝoj (en la rusa).
• Konrad Königsberger. Analysis 1. Eldonejo Springer, Berlino, 2004, ISBN 3-540-41282-4 ĉapitro 16. (en la germana)