Raumwinkel: Physikalische Größe

Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Der Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$  ist definiert als der Flächeninhalt ${\displaystyle A}$  einer messbaren Teilfläche ${\displaystyle F}$  einer Kugeloberfläche, dividiert durch das Quadrat des Radius ${\displaystyle r}$  der Kugel:

${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}}}$ .

Bei Betrachtung der Einheitskugel (${\displaystyle r=1}$ ) ist ${\displaystyle A}$  also betragsgleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich ${\displaystyle 4\pi }$ .

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben als Flächenintegral ist

${\displaystyle \Omega =\iint _{F}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}{r^{2}}}}$ .

Dabei ist ${\displaystyle {\hat {\vec {n}}}}$  der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung, ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}}$  das differentielle Flächenelement und ${\displaystyle r}$  dessen Abstand vom Koordinatenursprung. Existiert dieses Integral, dann ist die Teilfläche messbar, und dies ist sowohl bei abgeschlossenen als auch offenen Teilmengen der Kugeloberfläche der Fall.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.

Obwohl der Raumwinkel eine Größe der Dimension Zahl ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m². Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt ${\displaystyle 4\cdot \pi \cdot r^{2}}$  hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel

${\displaystyle \Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr} }$ .

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad, (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich ${\displaystyle \left({\tfrac {2\pi }{360}}\right)^{2}\approx 0{,}00030462\ \mathrm {sr} }$ .

Die Verwendung einer Hilfsmaßeinheit für eine Größe der Dimension Zahl hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

 

Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks beträgt in Abhängigkeit von seinen Innenwinkeln ${\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma -\pi )}$  Steradiant (siehe Kugeldreieck - Eigenschaften).

In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel ${\displaystyle \varphi _{1}}$ , ${\displaystyle \varphi _{2}}$  und zwei Breitenwinkel ${\displaystyle \gamma _{1}}$ , ${\displaystyle \gamma _{2}}$  bestimmen ein Flächenelement auf einer Kugeloberfläche. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

${\displaystyle \Omega =\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\int \limits _{\gamma _{1}}^{\gamma _{2}}\sin(\gamma )\ \mathrm {d} \gamma \ \mathrm {d} \varphi }$ 

 

Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Ist ${\displaystyle 2\theta }$  der Öffnungswinkel in der Spitze des Kegels, dann ergibt sich der Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$  aus dem Doppelintegral

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '\ \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '\\&=2\cdot \pi \cdot (1-\cos(\theta ))\\&=4\cdot \pi \cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$ 

 

Öffnungswinkel ${\displaystyle 2\theta }$  in Grad	0	1	2	5	10	15	30	45	57,2958
Öffnungswinkel ${\displaystyle 2\theta }$  in Radiant	0,0000	0,0175	0,0349	0,0873	0,1745	0,2618	0,5236	0,7854	1,0000
Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$  in Quadratgrad	0,00	0,79	3,14	19,63	78,49	176,46	702,83	1570,10	2525,04
Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$  in Steradiant	0,0000	0,0002	0,0010	0,0060	0,0239	0,0538	0,2141	0,4783	0,7692
Öffnungswinkel ${\displaystyle 2\theta }$  in Grad	60	65,5411	75	90	120	150	180	270	360
Öffnungswinkel ${\displaystyle 2\theta }$  in Radiant	1,0472	1,1439	1,3090	1,5708	2,0944	2,6180	3,1416	4,7124	6,2832
Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$  in Quadratgrad	2763,42	3282,81	4262,39	6041,36	10313,24	15287,95	20626,48	35211,60	41252,96
Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$  in Steradiant	0,8418	1,0000	1,2984	1,8403	3,1416	4,6570	6,2832	10,7261	12,5664

 

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten ${\displaystyle w_{x}}$  und ${\displaystyle w_{y}}$  sowie der Höhe h ergibt sich:

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\frac {w_{x}\cdot w_{y}}{2\cdot h\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}}}}\right)}$ 

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel ${\displaystyle 2\cdot \varphi _{x}}$  und ${\displaystyle 2\cdot \varphi _{y}}$ , wobei ${\displaystyle \tan(\varphi _{x})={\frac {w_{x}}{2\cdot h}}}$  und ${\displaystyle \tan(\varphi _{y})={\frac {w_{y}}{2\cdot h}}}$  ist, so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arcsin \left(\sin(\varphi _{x})\cdot \sin(\varphi _{y})\right)}$ 

Beispiele:

Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° (${\displaystyle \varphi _{x}=22{,}5^{\circ }}$ ) und 20° (${\displaystyle \varphi _{y}=10^{\circ }}$ ) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.

Handelt es sich um eine quadratische Blende und sind beide Winkel 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

Formeln für Raumwinkel

Im Folgenden sind ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}}$  vier Punkte, so dass die Vektoren ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{3}}}}$  nicht in einer Ebene liegen (den Raum aufspannen), ${\displaystyle k_{0}}$  ist die Einheitskugel um ${\displaystyle P_{0}}$  und ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}}$  die Schnittpunkte der Geraden ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}}$  mit der Einheitskugel ${\displaystyle k_{0}}$ . ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}}$  bilden ein Tetraeder.

 

Ebenen-Formel

Die Winkel ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$  des sphärischen Dreiecks ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}}$  sind die Winkel zwischen den drei Ebenen, die durch die drei Punktetripel ${\displaystyle (P_{0},P_{1},P_{2})}$ , ${\displaystyle (P_{0},P_{2},P_{3})}$ , ${\displaystyle (P_{0},P_{3},P_{1})}$  aufgespannt werden.

Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}}$  ist der Raumwinkel in der Tetraederecke ${\displaystyle P_{0}}$  (siehe oben)

${\displaystyle \Omega =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-\pi }$ 

Beispiel: Für ${\displaystyle P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)}$  sind die Winkel ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=90^{\circ }={\tfrac {\pi }{2}}}$  und der Raumwinkel im Nullpunkt gleich

${\displaystyle \Omega =3\cdot {\frac {\pi }{2}}-\pi ={\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}5707\ \mathrm {sr} }$ 

Kanten-Formel

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders mit drei zusammentreffenden Seitenflächen (Polygonen) kann mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden.

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den zusammentreffenden Innenwinkeln ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$  der drei Seitenflächen liegt, gilt

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {-\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\theta _{1}-\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}}{4}}\right)}}\right)}$ 

Beispiele: Für ${\displaystyle P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)}$  sind die Winkel ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=\theta _{3}=90^{\circ }}$  und

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {270^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)}$ 

Der Raumwinkel im Punkt ${\displaystyle P_{0}}$  ist (wie schon berechnet) gleich ${\displaystyle \Omega ={\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}5707\ \mathrm {sr} }$ .

Für eine quadratische Pyramide mit den Winkeln ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ },\theta _{2}=75^{\circ },\theta _{3}=75^{\circ }}$  in den Ecken der quadratischen Grundfläche gilt

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {240^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)}$ 

In diesem Fall beträgt der Raumwinkel jeweils ${\displaystyle \Omega \approx 1{,}1001\ \mathrm {sr} }$ .

Richtungsvektoren-Formel

Sind die Vektoren ${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3}}$  Richtungsvektoren der Geraden ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}}$ , so gilt für den Raumwinkel

${\displaystyle \Omega =2\cdot \arctan \left({\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}\right)}$ 

Dabei ist ${\displaystyle ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}$  das Spatprodukt der Vektoren ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ , ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$  und ${\displaystyle {\vec {r}}_{3}}$ , ${\displaystyle ({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})}$  ist das Skalarprodukt und ${\displaystyle |{\vec {r}}_{1}|}$  ist die Länge des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee angegeben und bewiesen.

Beispiel: Für ${\displaystyle P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)}$  sind ${\displaystyle \;{\vec {r}}_{1}={\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\;{\vec {r}}_{2}={\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\;{\vec {r}}_{3}={\overrightarrow {P_{0}P_{3}}}\;}$  Richtungsvektoren. Mit ${\displaystyle \;({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})=8,\;|{\vec {r}}_{i}|=2,\;{\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{j}=0\;}$  für ${\displaystyle i\neq j}$  ergibt sich (wie schon berechnet)

${\displaystyle \Omega =2\cdot \arctan \left(1\right)={\frac {\pi }{2}}}$ 

Beispiele mit 3 Kanten an einer Ecke

Die drei Formeln zur Bestimmung des Raumwinkels können auf alle Polyederecken mit drei Kanten (Ebenen) angewandt werden.

Reguläres Tetraeder

 

Bei einem regulären Tetraeder sind die Winkel zwischen den Seitenflächen ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\arctan \left(2\cdot {\sqrt {2}}\right)}$  und nach der Ebenen-Formel gilt

${\displaystyle \Omega =3\cdot \arctan \left(2\cdot {\sqrt {2}}\right)-\pi \approx 0{,}5513\ \mathrm {sr} }$ 

Die Kantenwinkel sind ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=\theta _{3}=60^{\circ }}$  und damit gilt nach der Kanten-Formel

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(45^{\circ })\cdot (\tan 15^{\circ })^{3}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {26-15\cdot {\sqrt {3}}}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{5}}\right)=\arctan \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{23}}\right)=\arcsin \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{27}}\right)=\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\\&\approx 0{,}5513\ \mathrm {sr} \\\end{aligned}}}$ 

Gerades Prisma

Ein gerades Prisma besitzt ein Polygon als Grundfläche und zur Grundfläche senkrechte weitere Kanten (Ebenen). Ist der Winkel in einem Punkt ${\displaystyle P}$  des Grundflächenpolygons ${\displaystyle \alpha }$ , so folgt aus der Ebenenformel, wegen der Orthogonalität der Seitenflächen, für den Raumwinkel in ${\displaystyle P}$ 

${\displaystyle \Omega =\alpha +{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}-\pi =\alpha }$ 

 

 

Oktaederstumpf

 

Ein Oktaederstumpf entsteht durch Beschneidung eines regulären Oktaeders. In einer Ecke ${\displaystyle P}$  treffen sich 3 Kanten und drei Ebenen, zwei reguläre Sechsecke und ein Quadrat. Es gibt also zwei Flächenwinkel: ${\displaystyle \alpha _{1}}$  zwischen zwei Sechsecken und ${\displaystyle \alpha _{2}}$  zwischen einem Sechseck und einem Quadrat. Es gilt (siehe Oktaederstumpf)

${\displaystyle \alpha _{1}=2\cdot \arctan \left({\sqrt {2}}\right),\quad \alpha _{2}=\pi -\arctan \left({\sqrt {2}}\right)}$ 

Damit ist nach der obigen Ebenenformel der Raumwinkel im Punkt ${\displaystyle P}$ 

${\displaystyle \Omega =\alpha _{1}+2\cdot \alpha _{2}-\pi =\pi }$ 

Die Innenwinkel, die an einer Basisecke zusammentreffen, sind ${\displaystyle \theta _{1}=120^{\circ },\theta _{2}=120^{\circ },\theta _{3}=90^{\circ }}$ . Aus der Kanten-Formel folgt daraus

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {330^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {150^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left(1\right)=\pi \\\end{aligned}}}$ 

Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$  des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung).

Beispiele mit mehr Kanten in einer Ecke

Gehen durch eine Polyederecke mehr als drei Kanten, hat man ein sphärisches Polygon mit mehr als drei Ecken. In vielen Fällen lässt sich das sphärische Polygon mit Hilfe eines inneren Hilfspunktes ${\displaystyle Z}$  in sphärische Dreiecke zerlegen (analog zur Triangulierung eines ebenen konvexen Polygons).

Gerade quadratische Pyramide

 

Für eine gerade quadratische Pyramide mit der Quadratseitenlänge ${\displaystyle a}$  und Höhe ${\displaystyle h}$  ist der Winkel zwischen den Dreiecken

${\displaystyle \beta _{1}=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)}$ 

Schneidet man aus der Pyramide, wie aus einem Kuchen, entlang der Pyramidenhöhe und durch jeweils zwei benachbarte Basispunkte, erhält man eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und einer Pyramidenkante an der Basis. Für den Raumwinkel an der Spitze der dreieckigen Pyramide ergibt sich

${\displaystyle \Omega _{3}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\beta _{1}}{2}}+{\frac {\beta _{1}}{2}}-\pi =\beta _{1}-{\frac {\pi }{2}}}$ 
${\displaystyle \quad =2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)-{\frac {\pi }{2}}}$ 

und der Raumwinkel der Pyramide an der Spitze ist

${\displaystyle \Omega _{S}=4\cdot \Omega _{3}=8\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)-2\cdot \pi }$ 

Der Winkel zwischen einem Dreieck und dem Quadrat ist

${\displaystyle \beta _{2}=\arctan \left({\frac {2\cdot h}{a}}\right)}$ 

Mit der Ebenen-Formel ergibt sich für den Raumwinkel an einer Basisecke

${\displaystyle \Omega _{B}=\beta _{1}+\beta _{2}+\beta _{2}-\pi }$ 
${\displaystyle =2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)+2\cdot \arctan \left({\frac {2\cdot h}{a}}\right)-\pi }$ 

Bemerkungen: Für ${\displaystyle h={\frac {a}{\sqrt {2}}}}$  ist diese Pyramide sozusagen ein halbes Oktaeder. In diesem Fall ist der Raumwinkel an der Spitze

${\displaystyle \Omega _{O}=8\cdot \arctan \left({\sqrt {2}}\right)-2\cdot \pi \approx 1{,}3593\ \mathrm {sr} }$ .

Der Raumwinkel an einer Basisecke, wo das Quadrat und zwei gleichseitige Dreiecke zusammentreffen, ist

${\displaystyle \Omega _{B}=4\cdot \arctan \left({\sqrt {2}}\right)-\pi \approx 0{,}6797\ \mathrm {sr} }$ .

Dieser Winkel ist halb so groß wie der Raumwinkel an der Spitze, also gilt ${\displaystyle \Omega _{B}={\frac {\Omega _{O}}{2}}}$ . Dies wird offensichtlich, wenn 2 dieser Pyramiden zu einem Oktaeder vervollständigt werden.

Die Innenwinkel, die an einer Basisecke zusammentreffen, sind ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ },\theta _{2}=60^{\circ },\theta _{3}=60^{\circ }}$ . Aus der Kanten-Formel folgt daraus

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{B}&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {210^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {30^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {30^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)=\arctan \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{7}}\right)=\arcsin \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{9}}\right)=\arccos \left({\frac {7}{9}}\right)\\\end{aligned}}}$ 

mit dem gleichen Ergebnis. Die Umformungen ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln, der Additionstheoreme für den Tangens und der Gleichungen ${\displaystyle 2\cdot \arctan(x)=\arctan \left({\frac {2\cdot x}{1-x^{2}}}\right)}$ , ${\displaystyle \arctan(x)=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$  und ${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$ .

 

 

Reguläres Ikosaeder

Die hier geschilderte Methode wird auch bei der Bestimmung des Raumwinkels eines regulären Ikosaeders angewandt. Bei einem Ikosaeder gehen durch jede Ecke fünf Kanten. Es wird der Raumwinkel einer Pyramide mit einem regulären Fünfeck als Basis bestimmt.