Diagonaldominante Matrizen bezeichnen in der numerischen Mathematik eine Klasse von quadratischen Matrizen mit einer zusätzlichen Bedingung an ihre Hauptdiagonalelemente.
Der alleinstehende Begriff diagonaldominant wird in der Literatur uneinheitlich manchmal für strikt diagonaldominant und manchmal für schwach diagonaldominant verwendet. Im Folgenden werden beide Begriffe näher erläutert.
Eine -Matrix heißt strikt (auch: streng oder stark) diagonaldominant, falls die Beträge ihrer Diagonalelemente jeweils größer sind als die Summe der Beträge der restlichen jeweiligen Zeileneinträge , d. h., wenn für alle gilt
Dieses Kriterium wird auch als starkes Zeilensummenkriterium bezeichnet und ist nicht äquivalent zu dem entsprechenden Spaltensummenkriterium, jedoch nach Definition äquivalent zum Spaltensummenkriterium der transponierten Matrix.
Komplexe, strikt diagonaldominante Matrizen sind aufgrund der Gerschgorin-Kreise regulär, ebenso die aus ihnen durch Nullsetzen bestimmter Einträge gewonnenen oberen und unteren Dreiecksmatrizen. Bei einigen Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen (z. B. Gauß-Seidel-, Jacobi- oder SOR-Verfahren) bietet die Diagonaldominanz der Systemmatrix, insbesondere die letztgenannte Eigenschaft, ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz des Verfahrens.
Eine -Matrix heißt schwach diagonaldominant, falls die Beträge ihrer Diagonalelemente jeweils größer oder gleich der Summe der Beträge der restlichen jeweiligen Zeileneinträge sind, d. h., wenn für alle gilt
In der Numerik partieller Differenzialgleichungen wird zudem für Stabilitätsbetrachtungen ein weiterer Begriff verwendet:
Eine -Matrix heißt irreduzibel diagonaldominant, wenn sie irreduzibel und schwach diagonaldominant ist und für mindestens ein die Ungleichung
gilt.
This article uses material from the Wikipedia Deutsch article Diagonaldominante Matrix, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Abrufstatistik · Autoren Der Inhalt ist verfügbar unter CC BY-SA 4.0, sofern nicht anders angegeben. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Deutsch (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.