Butterworth-Filter

Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Übertragungsfunktion absinken und in die Durchlassdämpfung von n·20 dB pro Frequenzdekade übergehen (n ist die Ordnung des Butterworth-Filters). Die einfachste Form des Butterworth-Filters 1. Ordnung stellt das RC-Glied dar. Eine moderne praktische Anwendung des Filters ist in der Computeranimation üblich; sie dient der Reduktion von Kurvenpunkten, ohne die generelle Form der Kurve zu verändern.

Ein Signal wird an der Grenzfrequenz auf das ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}7071}$-fache des ursprünglichen Signals abgeschwächt, d. h. die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt ca. 3 dB. Butterworth-Filter haben sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der Übertragungsfunktion.

Benannt wurde das Butterworth-Filter nach dem britischen Physiker Stephen Butterworth, der diese Art von Filter erstmals beschrieb.

Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:

${\displaystyle \left|{\underline {A}}\right|^{2}={\frac {A_{0}^{2}}{1+k_{2n}\Omega ^{2n}}}}$ 

mit

${\displaystyle A_{0}}$  Gleichspannungsverstärkung
${\displaystyle \Omega ={\frac {f}{f_{g}}}}$  auf Grenzfrequenz normierte Frequenz
${\displaystyle n}$  Ordnung des Filters

Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.

Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form (${\displaystyle P={\frac {p}{\omega _{0}}}}$ ):

${\displaystyle A[P]={\frac {A_{0}}{\prod _{i}(1+a_{i}P+b_{i}P^{2})}}}$ 

ergeben sich für die Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$  und ${\displaystyle b_{i}}$  folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

${\displaystyle i=1\ldots {\frac {n}{2}}}$ 
${\displaystyle a_{i}=2\cos {\frac {(2i-1)\pi }{2n}}}$ 
${\displaystyle b_{i}=1\ }$ 

Ordnung n des Filters ungerade:

${\displaystyle i=2\ldots {\frac {(n+1)}{2}}}$ 
${\displaystyle a_{1}=1\ }$ 
${\displaystyle b_{1}=0\ }$ 
${\displaystyle a_{i}=2\cos {\frac {(i-1)\pi }{n}}}$ 
${\displaystyle b_{i}=1\ }$ 

Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

• monotoner Amplitudengang sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich
• schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
• beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung
• der Phasenverlauf besitzt eine kleine Nichtlinearität
• relativ frequenzabhängige Gruppenlaufzeit
• großer Realisierungsaufwand bei hoher Ordnung

 

Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:

Das k-te Element ist gegeben mit:

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]}$  für k ungerade
${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]}$  für k gerade

In der digitalen Signalverarbeitung können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden. Die Kaskadierung zweier Butterworth-Filter n-ter Ordnung ergibt einen Linkwitz-Riley-Filter 2n-ter Ordnung.

Die Butterworth-Polynome werden normalerweise als komplex konjugierte Pole s₁ und s_n geschrieben. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ω_c=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]}$  für n gerade
${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]}$  für n ungerade

Auf 4 Dezimalziffern genau lauten sie:

n	Faktoren der Polynome ${\displaystyle B_{n}(s)}$
1	${\displaystyle s+1}$
2	${\displaystyle s^{2}+{\sqrt {2}}s+1}$
3	${\displaystyle \left(s+1\right)\left(s^{2}+s+1\right)}$
4	${\displaystyle \left(s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}s+1\right)}$
5	${\displaystyle \left(s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}s+1\right)}$
6	${\displaystyle \left(s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {2}}s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}s+1\right)}$
7	${\displaystyle \left(s+1\right)\left(s^{2}+0{,}4450s+1\right)\left(s^{2}+1{,}2470s+1\right)\left(s^{2}+1{,}8019s+1\right)}$
8	${\displaystyle \left(s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}s+1\right)\left(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}s+1\right)}$

• Bessel-Filter
• Cauer-Filter
• Tschebyscheff-Filter
• Linkwitz-Riley-Filter

• Analogfilter, Othmar Marti and Alfred Plettl, Universität Ulm
• Online Butterworth Tiefpassfilter Rechner