Vlastní Vektory A Vlastní Čísla

Tento skalár se nazývá vlastní číslo (též vlastní hodnota nebo charakteristické číslo) přidružené či příslušné uvažovanému vlastnímu vektoru. Geometricky se transformace vlastního vektoru operátorem projeví zvětšením/zmenšením vektoru buď bez změny orientace (kladné vlastní číslo) nebo s obrácením orientace (záporné vlastní číslo). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor operátoru přidružený k danému vlastnímu číslu.

Vlastní vektor může mít v konkrétních aplikacích i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav) apod.

Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo v kvantové fyzice.

Vlastní vektor lineárního operátoru ${\displaystyle A}$  je takový nenulový vektor u, pro který existuje číslo ${\displaystyle \lambda }$  tak, že platí:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$ .

Číslo ${\displaystyle \lambda }$  se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$  a ${\displaystyle \mathbf {u} }$  vlastní vektor operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$  příslušný vlastní hodnotě ${\displaystyle \lambda }$ .

V kvantové mechanice se často lze setkat se zápisem ${\displaystyle {\hat {A}}u=Au}$  anebo ${\displaystyle {\hat {A}}\,|u\rangle =A\,|u\rangle }$  kde ${\displaystyle {\hat {A}}}$ označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$  je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Nechť ${\displaystyle \mathbf {A} }$  je zadaná reálná nebo komplexní čtvercová matice ${\displaystyle n\times n}$ , ${\displaystyle \mathbf {u} }$  je sloupcový vektor délky ${\displaystyle n}$  a ${\displaystyle \lambda }$  je reálné nebo komplexní číslo. Rovnice ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$ , jejíž levou stranu chápeme jako násobení matice vektorem a pravou stranu jako násobení skaláru vektorem, obsahuje známou matici ${\displaystyle \mathbf {A} }$  a neznámé veličiny ${\displaystyle \mathbf {u} }$  a ${\displaystyle \lambda }$ . Tato maticová rovnice se dá přepsat jako soustava lineárních rovnic

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}=\lambda u_{i}}$ 

pro ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$ .

Proměnnou ${\displaystyle \mathbf {u} }$  na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako

${\displaystyle u_{i}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\delta _{ij}}$ 

Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(a_{ij}-\lambda \delta _{ij})u_{j}=0}$ ,

což lze vyjádřit maticově jako

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )\cdot \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ,

kde ${\displaystyle \mathbf {E} }$  je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o ${\displaystyle n}$  neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )=0}$ ,

což lze rozepsat

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0}$ .

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ . Proto má matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  vždy ${\displaystyle n}$  vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. Počet opakování, tj. násobnost kořene charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.

Vlastní vektory matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  vyhovují rovnici ${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )\cdot \mathbf {u} =\mathbf {0} }$  pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný nenulový násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti ${\displaystyle m}$  existuje nejvýše ${\displaystyle m}$  vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu ${\displaystyle \lambda }$ , tj. ${\displaystyle \mathrm {dim} ({\mathcal {N}}(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} ))}$  se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla.

Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.

Příklad

Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}}}$ 

Charakteristická rovnice má tvar

${\displaystyle {\begin{vmatrix}3-\lambda &-1\\2&-\lambda \end{vmatrix}}=0}$ .

Po jejím rozepsání (tedy jednoduše vyčíslíme determinant a položíme jej roven nule) dostaneme kvadratickou rovnici

${\displaystyle \lambda ^{2}-3\lambda +2=0\,}$ 

Řešením této rovnice získáme vlastní čísla

${\displaystyle \lambda _{1}=2,\lambda _{2}=1\,}$ 

Vlastní vektor ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$  příslušný vlastní hodnotě ${\displaystyle \lambda _{1}}$  získáme řešením soustavy lineárních rovnic

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3-\lambda _{1}&-1\\2&-\lambda _{1}\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {u} _{1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-2\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {u} _{1}=\mathbf {0} }$ 

Řešením této rovnice je např. vektor

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}}$ 

Vlastní vektor ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$  příslušný vlastní hodnotě ${\displaystyle \lambda _{2}}$  získáme řešením soustavy lineárních rovnic

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3-\lambda _{2}&-1\\2&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {u} _{2}={\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}}\cdot \mathbf {u} _{2}=\mathbf {0} }$ 

Řešením této rovnice je např. vektor

${\displaystyle \mathbf {u} _{2}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$ 

• Nula je vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  regulární, pak nula není jejím vlastním číslem.
• Je-li matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  symetrická a reálná (tj. obsahuje pouze reálná čísla), pak všechna její vlastní čísla jsou reálná.
• Jestliže k matici ${\displaystyle \mathbf {A} }$  existuje inverzní matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ , pak ${\displaystyle \lambda }$  je vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  tehdy, je-li ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\lambda }}}$  vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ . Přitom platí, že vlastní vektory matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  odpovídající vlastnímu číslu ${\displaystyle \lambda }$  jsou stejné jako vlastní vektory matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$  odpovídající vlastnímu číslu ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$ .
• Pokud má matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  vlastní číslo ${\displaystyle \lambda }$  a odpovídající vlastní vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$ , pak matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$  má vlastní číslo ${\displaystyle \lambda ^{2}}$  a jemu odpovídající vlastní vektor je ${\displaystyle \mathbf {u} }$ .
• Je-li vlastním číslem reálné matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$  komplexní číslo ${\displaystyle z}$ , pak je také komplexně sdružené číslo ${\displaystyle {\overline {z}}}$  vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ .
• Je-li lineární operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$  hermitovský, jsou všechna vlastní čísla reálná.

Jako spektrum omezeného lineárního operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$  se označuje množina komplexních čísel ${\displaystyle \lambda }$ , pro které není operátor ${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )}$  invertovatelný. Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. Tato část se nazývá bodové (diskrétní) spektrum. V případě konečnorozměrných operátorů (čtvercových matic konečných rozměrů) je celé spektrum bodové. U nekonečněrozměrných operátorů mohou existovat i další části spektra, které nejsou bodové.

Pokud ke každému vlastnímu číslu ${\displaystyle A_{n}}$  přísluší právě jedna vlastní funkce ${\displaystyle u_{n}}$ , pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některým vlastním číslům ${\displaystyle A_{n}}$  přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí ${\displaystyle u_{n\mu }}$ , tzn.

${\displaystyle {\hat {A}}u_{n\mu }=A_{n}u_{n\mu }}$ ,

kde ${\displaystyle \mu =1,2,...,g_{n}}$ , pak hovoříme o degenerovaném spektru. Počet lineárně nezávislých funkcí ${\displaystyle g_{n}}$  se nazývá násobností (stupněm) degenerace.

Vlastní hodnoty geometrických zobrazení

Následující tabulka obsahuje příklady transformací v rovině s jejich 2×2 maticemi, vlastními hodnotami a vlastními vektory.

Vlastní hodnoty geometrických zobrazení

	Zvětšení	Různé zvětšení ve směru os x a y	Rotace	Horizontální zkosení	Hyperbolická rotace
Ilustrace
Matice	${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{pmatrix}}}$
Charakteristický polynom	${\displaystyle \ (\lambda -k)^{2}}$	${\displaystyle (\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1}$	${\displaystyle \ (\lambda -1)^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1}$
Vlastní hodnoty, ${\displaystyle \lambda _{i}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=k}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}}$
Algebraická násobnost, ${\displaystyle \mu _{i}=\mu (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$
Geometrická násobnost, ${\displaystyle \gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \gamma _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$
Vlastní vektory	Všechny nenulové vektory	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Charakteristická rovnice rotace je kvadratická rovnice s diskriminantem ${\displaystyle D=-4(\sin \theta )^{2}}$ . Je-li θ celočíselný násobek 180° je vlastní číslo +1 nebo -1. Jinak je diskriminant záporný, a obě vlastní čísla nejsou reálná, ale komplexní ${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$ ; všechny vlastní vektory pak mají složky, které nejsou reálnými čísly, protože kromě uvedených speciálních případů rotace mění směr každého nenulového vektoru v rovině.

Lineární transformace, která převádí čtverec na obdélník stejné plochy (anglicky squeeze mapping) má jedno vlastní číslo rovné převrácené hodnotě druhého.

Schrödingerova rovnice

 

Příkladem rovnice s vlastními čísly, kde transformace ${\displaystyle T}$  je reprezentována diferenciálním operátorem, je časově nezávislá Schrödingerova rovnice v kvantové mechanice:

${\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}\,}$ 

kde Hamiltonián ${\displaystyle H}$  je diferenciální operátor druhého řádu a vlnová funkce ${\displaystyle \psi _{E}}$  je jednou z jeho vlastních funkcí odpovídajících vlastnímu číslu ${\displaystyle E}$  interpretovanému jako energie.

V případě, kdy nás zajímají pouze řešení pro vázané stavy Schrödingerovy rovnice, jak je tomu často v kvantové chemii, budeme hledat ${\displaystyle \psi _{E}}$  v prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí. Protože tento prostor je Hilbertův prostor s dobře definovaným skalárním součinem, můžeme zavést bázi, v níž lze ${\displaystyle \psi _{E}}$  reprezentovat jednorozměrným polem (tj. vektorem) a ${\displaystyle H}$  maticí. To nám umožňuje reprezentovat Schrödingerovu rovnici v maticovém tvaru.

Pro zápis se často používá Diracova notace. Vektor, který reprezentuje stav systému v Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí, je reprezentován ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$ . S použitím této notace lze Schrödingerovu rovnici zapsat takto:

${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$ 

kde ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$  je vlastní stav ${\displaystyle H}$  (který někteří autoři značí ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ) a ${\displaystyle E}$  reprezentuje vlastní číslo. ${\displaystyle H}$  je pozorovatelný samoadjungovaný operátor, nekonečněrozměrná obdoba Hermitovské matice. Stejně jako v maticovém případě chápeme ve výše uvedené rovnici ${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle }$  jako vektor získaný aplikací transformace ${\displaystyle H}$  na ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$ .

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eigenvalues and eigenvectors na anglické Wikipedii.

Související články

• Determinant
• Matice
• Operátor
• Podobnost matic
• Schurův rozklad
• Soustava lineárních rovnic
• Spektrum matice
• Vlastní frekvence