قيم ذاتية ومتجهات ذاتية

المتطلبات والهدف

 

مثال

 

بالنسبة للمصفوفة A

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$ 

المتجهة

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}}$ 

هي متجهة ذاتية بقيمة ذاتية مساوية ل 1. يظهر ذلك من خلال ما يلي.

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 3+1\cdot (-3)\\1\cdot 3+2\cdot (-3)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}.}$ 

من جهة ثانية، المتجهة

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ 

ليست متجهة ذاتية بما أن

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 0+1\cdot 1\\1\cdot 0+2\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$ 

وهاته المتجهة ليست مضاعفا للمتجهة الأصلية x.

حساب حل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى: على سبيل المثال، المعادلة التفاضلية البسيطة التالية (مع غض الطرف مبدئيا عن وجوب اعتبار الشروط الأولى أي عند حساب الحل):

${\displaystyle {\mathcal {}}Ax=\lambda x}$ 

${\displaystyle {\dot {x}}+10x=0}$ 

و لنحاول البحث عن حل هذه المعادلة. المعروف هو أنه يمكن أن نقول أن حل هذالمعادلة هو:

${\displaystyle {\mathcal {}}e^{ct}}$ 

أي أن ${\displaystyle {\mathcal {}}x=e^{ct}}$  وإذا عوضت ${\displaystyle {\mathcal {}}x}$  ب ${\displaystyle {\mathcal {}}e^{ct}}$  فإنك تتحصل على المعادلة التالية:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{ct})+10e^{ct}=0}$ 

أي ${\displaystyle {\mathcal {}}ce^{ct}+10e^{ct}=0}$ 

أي بعد أن نشطب ${\displaystyle {\mathcal {}}e^{ct}}$  من المعادلة فإنك تتحصل على المعادلة ${\displaystyle {\mathcal {}}c+10=0}$  وهذا بدوره يعني أن${\displaystyle {\mathcal {}}c=-10}$ .

في عملية الحساب أعلاه، بُسطت معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى إلى معادلة بسيطة لحساب القيمة الممتلكة c ألا وهي المعادلة ${\displaystyle -c+10=0}$ . يمكن تعميم هذه الطريقة أي كيفية الوصول من معادلة تفاضلية ذات درجة ثانية أو ثالثة أو غيرهما إلى المعادلة لحساب القيمة الممتلكة أو في هذه الحالة القيم الممتلكة (لأن درجة العلاقة التفاضلية تتطابق دائما مع عدد القيم الخاصة التي تحسبها حيث يكون من الضروري في هذه الحالة حل كثيرات حدود وأن تراعي طبعا أن بعض الحلول قد تكون مكررة أي أنه يجب أن تعدها عدة مرات حتى تكون هذه الملاحظة).
كما يجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة أو المعالجة حيث فقط للنظم أو المعادلات التفاضلية الخطية أي أنه في صورة انعدام الخطية لا يمكن الحديث عن قيمة ممتلكة.
كما أن القيمة الممتلكة تعلمنا إذا كان نظام ما مستقرا (إذا كانت القيمة الممتلكة سالبة) أو غير مستقر (إذا كانت القيمة موجبة). وهي كذلك دليل على سرعة النظام أو سرعة رده (إذا كانت القيمة المطلقة للقيمة الممتلكة كبيرة فإن النظام سريع أي سرعة ردة فعله سريعة).

det(λI-A)=0 حيث Ι هي المصفوفة الوحدة

عادة ما تذكر القيم الذاتية في مجال الخط الجبري أو نظرية المصفوفات^[؟]، ولكن من الناحية التاريخية، برزت خلال دراسة الصيغ التربيعية والمعادلات التفاضلية.

في القرن الثامن عشر، درس ليونهارت أويلر حركة دوران جسم صلب مكتشفا أهمية المحاور الأساسية.

انظر إلى متعددة حدود مميزة.

معادلة شرودنغر

انظر معادلة شرودنغر.

تحليل العنصر الرئيسي

• خوارزمية قيمة ممتلكة
• كثيرة حدود مميزة