Násobek: Součin daného čísla a nějakého celého čísla

Nechť čísla ${\displaystyle a,b\in N}$ ; číslo ${\displaystyle a}$  je násobkem čísla ${\displaystyle b}$ , jestliže existuje takové přirozené číslo ${\displaystyle k}$ , že platí: ${\displaystyle a=b\cdot k}$ . Neexistuje-li takové číslo ${\displaystyle k}$ , pak číslo ${\displaystyle a}$  není násobkem čísla ${\displaystyle b}$ .

Definici lze použít i pro ${\displaystyle a,b\in Z}$ , pak platí:

• číslo ${\displaystyle 0}$  je násobkem každého celého čísla,
• je-li číslo ${\displaystyle a}$  násobkem čísla ${\displaystyle b}$ , je také násobkem čísla ${\displaystyle -b}$  a také číslo ${\displaystyle -a}$  je násobkem čísla čísla ${\displaystyle b}$ .

Nenulové přirozené číslo ${\displaystyle D}$  se nazývá společným násobkem nenulových celých čísel ${\displaystyle a,b}$ , když platí ${\displaystyle a\mid D\land b\mid D}$ , tj. ${\displaystyle D}$  je dělitelné oběma čísly. Nejmenší ze všech jejich společných násobků se nazývá nejmenší společný násobek.

Příklad: Jsou-li společní dělitele čísel ${\displaystyle a=420,b=36}$  jsou ${\displaystyle 1,2,3,4,6,12}$ . Čísla ve tvaru ${\displaystyle 1260\cdot n}$ , kde ${\displaystyle n\in N}$ , jsou všechny společné násobky čísel ${\displaystyle a,b.}$ 

Obecné vyjádření společného násobku dvou přirozených čísel

Číslo ${\displaystyle D}$  je libovolný společný násobek čísel ${\displaystyle a,b\in N}$ . Použitím Eukleidova algoritmu lze zapsat ${\displaystyle D=a\cdot q}$ , kde ${\displaystyle q\in N}$ . Čísla ${\displaystyle a,b}$  lze vyjádřit ve tvaru ${\textstyle a=a_{1}\cdot NSD(a,b);b=b_{1}\cdot NSD(a,b);}$  kde ${\displaystyle NSD(a_{1},b_{1})=1}$ , tedy čísla ${\displaystyle a_{1},b_{1}}$ jsou nesoudělná. Číslo ${\displaystyle {\frac {D}{NSD(a,b)}}=a_{1}\cdot q}$  přirozené a navíc ${\displaystyle q}$  je dělitelné (beze zbytku) ${\displaystyle b_{1}}$ . Pro ${\displaystyle n\in N}$  lze napsat ${\displaystyle {\frac {a_{1}q}{b_{1}}}=a_{1}n}$  a tedy ${\displaystyle a_{1}q=a_{1}b_{1}n}$ . Provedením úprav lze získat vztah ${\displaystyle D={\frac {ab}{NSD(a,b)}}\cdot n}$ 

Společný násobek více čísel

Společným násobkem nenulových celých čísel ${\displaystyle a_{1},...a_{n}}$ , kde ${\displaystyle n\geq 2}$ , je nenulové číslo ${\displaystyle D\in N}$ , které je dělitelné každým z čísel ${\displaystyle a_{1},...a_{n}}$ , tj. ${\displaystyle \forall i\in \{1,...n\}}$  ${\displaystyle a_{i}\mid D}$ .

Příklady

Příklad1: Číslo ${\displaystyle 10}$  lze získat jako součin čísel: ${\displaystyle 2\cdot 5=10}$ 

O číslech v této rovnosti platí: číslo ${\displaystyle 10}$  je násobek čísla ${\displaystyle 2}$ , bylo získáno násobením čísla ${\displaystyle 2}$  a zároveň lze říci, že číslo ${\displaystyle 10}$  je násobek čísla ${\displaystyle 5}$ , je výsledkem násobení čísla ${\displaystyle 5}$ .

Příklad2: Které věty jsou pravdivé?

• Číslo 54 je násobek 8 – ne, věta není pravdivá, protože ${\displaystyle 54:8=6;(zbytek=6)}$ 
• Číslo 36 je násobek 12 – ano, pravdivé tvrzení, protože ${\displaystyle 36}$  je trojnásobek čísla ${\displaystyle 12}$ 

Příklad3: Určení násobku

• jedenáctinásobek čísla ${\displaystyle 6}$ : ${\displaystyle 11\cdot 6=66}$ 
• čtyřnásobek čísla ${\displaystyle z}$ : ${\displaystyle 4\cdot z=4z}$ 

• Nejmenší společný násobek
• Dělitelnost
• Násobení
• Eukleidův algoritmus

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu násobek na Wiki Commons

•   Slovníkové heslo násobek ve Wikislovníku