Matemàtiques Anell: Estructura algebraica

• (A,+) és un grup commutatiu, és a dir:
  • a+(b+c) = (a+b)+c per a tots els elements de A (associativitat).
  • Existeix un element, 0, tal que 0+a = a+0 = a per a tot a de A (element neutre).
  • Tot element a de A té un invers, −a, de manera que a+(−a) = (−a)+a = 0 (element invers).
  • a+b = b+a per a tots els elements de A (commutativitat).
• (A,·) verifica que
  • a·(b·c) = (a·b)·c per a tots els elements de A (associativitat).
  • a·(b+c) = a·b+a·c i (a+b)·c = a·c+b·c per a tots els elements de A (propietat distributiva respecte a la suma).

Alguns autors com Bourbaki, només consideren els anells unitaris, és a dir, aquells on l'operació producte admet un element neutre denotat 1 o explícitament 1_A que compleix:

• 1⋅a = a⋅1 = a per a tot a ∈ A.

Aquests autors acostumen a anomenar pseudo-anells als conjunts que no compleixen aquesta darrera condició.

Fixem-nos que, en canvi, la commutativitat del producte (a·b = b·a) no és una condició dels anells. Els anells que sí que la compleixen s'anomenen anells commutatius.

Fixem-nos també que l'element invers està definit per a la suma, però no per al producte. El conjunt d'elements invertibles d'un anell s'anomena el seu grup d'unitats, perquè té l'estructura de grup amb el producte. Quan l'element nul (zero) és l'únic element no invertible d'un anell, aquest s'anomena cos.

Viccionari Per completar la definició de la categoria, un homomorfisme d'anells és una aplicació f entre dos anells A i B que compleix:

• f(a+b) = f(a) + f(b),
• f(a⋅b) = f(a)⋅f(b),

i si hem considerat els anells com unitaris:

• f(1_A) = 1_B.

Tot homomorfisme d'anells bijectiu és un isomorfisme i l'existència d'un homomorfisme entre dos anells fa que aquests es siguin isomorfs.

• El conjunt dels nombres enters és un anell commutatiu, així com els nombres racionals, els reals i els complexos; aquests tres últims són, a més a més, cossos.

• El conjunt ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(A)}$  de matrius quadrades n×n amb elements d'un anell A té estructura d'anell.

La teoria d'anells és una branca molt rica de l'àlgebra abstracta i que ha donat lloc a moltes denominacions per a diferents tipus d'anells. Entre els més comuns tenim:

• Anell noetherià
• Anell artinià
• Anell de Dedekind
• Anell local

En l'estudi de divisibilitat per ideals, s'utilitzen sovint els següents, que estan ordenats de manera que si l'anell és commutatiu cadascun d'ells també té les propietats dels anteriors:

• Anell íntegre
• Anell factorial
• Anell principal
• Anell euclidià