Idealni Plin

Između njih ne postoje međumolekulske Van der Waalsove sile, pa se idealni plin ne može prevesti u tekuće ili čvrsto stanje. Idealni plin je teorijski koncept, a realni plinovi mu se približavaju tek pri niskim pritiscima i visokim temperaturama. Idealni plin se ponaša prema jednadžbi stanja idealnog plina i statističkoj mehanici. Općenito, plin se ponaša više poput idealnog plina na višim temperaturama i nižim pritiscima, jer potencijalna energija uslijed intermolekulskih sila postaje manje značajna u odnosu na kinetičku energiju čestica, a veličina molekula postaje manje značajna u odnosu na prazan prostor između njih. Jedan mol idealnog plina ima kapacitet od 22,710947 (13) litara.<

Pri standardnom pritisku i temperaturi, većina realnih plinova ponaša se kao idealni plin. Većina plinova, kao što su zrak, dušik, kisik, vodik, plemeniti plinovi, uključujući i neke teže, kao što je ugljik-dioksid, mogu se smatrati idealnim plinovima, unutar razumnih odstupanja. Uglavnom, kao idealni plin, svaki se ponaša više kod viših temperatura i manjih gustoća (manjih pritisaka), kada mehanički rad međumolekulskih sila postaje manje značajan u poređenju s kinetičkom energijom čestica i njihovoj veličini, manje je značajna u komparaciji s praznim prostorom između njih. IUPAC recommends that the former use of this definition should be discontinued;

To se posebno odnosi na teže plinove, vodenu paru i freone. U nekim slučajevima, na niskim temperaturama i višim pritiscima, realni plinovi mijenjaju agregatno stanje, pretvarajući se u tekućine ili krute tvari. Model idealnih plinova ne dozvoljava promjene agregatnih stanja. U tom slučaju se trebaju koristiti složenije jednadžbe njihovih stanja.

Modeli idealnih plinova su se istraživali u Newtonovoj dinamici i kinetičkoj teoriji plinova, kao i u kvantnoj mehanici. Ponekad se modeli idealnih plinova koriste za ponašanje elektrona u metalima, a to je i jedan od najvažnijih modela u statističkoj mehanici.

Postoje tri osnovne vrste idealnih plinova:

• klasični Maxwell-Boltzmannov idealni plin;
• idealni kvantni Boseov plin, koji se sastoji od bozona;
• idealni kvantni Fermijev plin, koji se sastoji od fermiona.

Klasični idealni plin ima dva tipa: klasični termodinamički idealni plin i idealni kvantni Boltzmannov plin. U suštini, oba su jednaka, osim što se klasični termodinamički idealni plin temelji na klasičnoj statističkoj mehanici i nekim termodinamičkim parametrima, kao što je entropija. Idealni kvantni Boltzmannov plin prelazi ta ograničenja, uzimajući granice idealnog kvantnog Boseovog plina i idealnog kvantnog Fermijevog plina, u granicama visokih temperatura, određujući dodatne konstante. Idealni kvantni Boltzmannov plin razlikuje se samo po konstantama. Rezultati jednadžbe idealnog kvantnog Boltzmannovog plina koriste se u dosta slučajeva, uključujući Sackur-Tetrodeovu jednadžbu za entropiju idealnog plina i Sahaovu ionizacijsku jednadžbu za slabo ioniziranu plazmu.

Klasični termodinamički idealni plin

Termodinamičke osobenosti idealnog plina mogu se opisati dvjema jednadžbama, jednadžbom stanja idealnog plina:

${\displaystyle PV=nRT\,}$ 

i unutrašnjom energijom idealnog plina, koja iznosi:

${\displaystyle U={\hat {c}}_{V}nRT}$ 

gdje:

• P = pritisak
• V = zapremina
• n = količina tvari plina (u molovima)
• R = plinska konstanta (8,314 J·K⁻¹mol^-1)
• T = apsolutna temperatura (K)
• U = unutrašnja energija
• ${\displaystyle {\hat {c}}_{V}}$  = bezdimenzijskii specifični toplinski kapacitet, pri konstantnoj zapremini od ≈ 3/2, za jednoatomne plinove, 5/2 za dvoatomne plinove i 3 za složenije molekule.

Količina tvari plina u J·K⁻¹ je ${\displaystyle nR=Nk_{B}}$  gdje:

• N = količina plinskih čestica
• ${\displaystyle k_{B}}$  = Boltzmannova konstanta (1,381×10⁻²³J·K⁻¹).

Vjerovatnoća rasporeda čestica po brzinama ili energijama predstavlja se Boltzmannovom distribucijom.

Toplotni kapacitet, pri konstantnoj zapremini za nR = 1 J·K⁻¹ bilo kojeg plina, uključujući i idealni plin je:

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\hat {c}}_{V}.}$ 

što je bezdimenzijski specifični toplotni kapacitet pri konstantnj zapremini, koja je uglavnom funkcija temperature. Za srednje temperature, za jednoatomske plinove ta konstanta je: ${\displaystyle {\hat {c}}_{V}=3/2}$ , dok je za dvoatomne plinove ${\displaystyle {\hat {c}}_{V}=5/2}$ . Toplotni kapacitet, uz konstantni npritisak, za 1 J/K idealnog plina je:

${\displaystyle {\hat {c}}_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}={\hat {c}}_{V}+1}$ 

gdje je: ${\displaystyle H=U+pV}$ –entalpija plina.

Zakon idealnog plina

 

Zakon idealnog plina je jednadžba stanja idealnog plina, data obrascem:

$${\displaystyle PV=nRT\,}$$
 
gdje

• P = pritisak
• V = zapremina
• n = količina supstance plina (u molovima)
• R = plinska konstanta (0,08206 L · atm · K^{−1 · molova−1)}
• T = apsolutna temperatura.

Zakon o idealnom plinu je proširenje eksperimentalno otkrivenog zakona plina. Također se može izvesti iz mikroskopskom smislu.

Stvarne tečnosti, pri niskoj gustoći i visokoj temperaturi približne su ponašanju u okvirima klasičnog idealnog plina. Međutim, pri nižim temperaturama ili većoj gustoći, stvarna tečnost jakoo odstupa od ponašanja idealnog plina, posebno jer se kondenzira iz plina u tečnost ili kao talog iz plina u čvrstu supstancu. Ovo odstupanje izražava se kao faktor kompresibilnosti.

Ova jednadžba izvedena je iz

• Boyleovog zakona

${\displaystyle V\propto {\frac {1}{P}}}$ ;

• Charlesov zakon: ${\displaystyle V\propto T}$ ;
• Avogadrov zakon: ${\displaystyle V\propto n}$ .

Nakon kombiniranja ovih zakona, slijedi:

${\displaystyle V\propto {\frac {nT}{P}}}$ 

gdje:

${\displaystyle V=R\left({\frac {nT}{P}}\right)}$ 
${\displaystyle PV=nRT}$ .

Model na mikroskopskoj razini

Da bi se prebacili s makroskopskih veličina (lijeva strana sljedeće jednadžbe) na mikroskopske (desna strana), koristi se obrazac:

${\displaystyle nR=Nk_{\mathrm {B} }}$ 

gdje

• ${\displaystyle N}$  = broj plinskih čestica;
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$  = Boltzmannova konstanta
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$  (6980138109999999999♠1,381×10⁻²³ J·K⁻¹).

Distribucija vjerovatnoće čestica prema brzini ili energiji data je pomoću Maxwellove distribucije brzine.

Model idealnog plina ovisi o sljedećim pretpostavkama:

• Molekule plina se ne mogu razlikovati, kao male tvrde kugle;
• Svi sudari su elastični i svako kretanje je bez trenja (nema gubitka energije u kretanju ili sudaranju);
• Primjenjuju se Newtonovi zakoni;
• Prosječna udaljenost između molekula mnogo je veća od veličine molekula;
• Molekule se neprestano kreću u slučajnim smjerovima s raspodjelom brzina;
• Ne postoje privlačne ili odbojne sile između molekula, osim onih koje određuju njihova tačkasta kolizija;
• Jedine sile između molekula plina i okoline su one koje određuju točkaste sudare molekula sa zidovima;
• U najjednostavnijem slučaju, ne postoje sile velikog dometa između molekula plina i okoline.

Kako ne bi bili dozvoljeni načini rotacije, neophodna je pretpostavka o sfernim česticama, za razliku od dvoatomskog plina. Sljedeće tri pretpostavke su vrlo povezane: molekule su tvrde, sudari su elastični i ne postoje međumolekulekulske sile. Pretpostavka da je prostor između čestica mnogo veći od samih čestica je od najveće važnosti i objašnjava zašto aproksimacija idealnog plina ne uspijeva pri visokim pritiscima.

Koristeći samo rezultate termodinamike, može se ići daleko u određivanju izraza za entropiju idealnog plina. Ovo je važan korak jer, prema teoriji termodinamičkih potencijala, ako možemo izraziti entropiju u funkciji U (U je termodinamički potencijal) , zapremine V i broja čestica N, tada ćemo imati potpunu predstavu o termodinamičkom ponašanju idealnog plina. Iz njega ćemo moći izvesti i zakon idealnog plina i izraz za unutrašnju energiju.

Budući da je entropija tačna razlika, koristeći pravilo lanca, promjena entropije prilikom prelaska, iz referentnog stanja 0, u neko drugo stanje s entropijom S može se opisati kao ΔS gdje:

${\displaystyle \Delta S=\int _{S_{0}}^{S}dS=\int _{T_{0}}^{T}\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\!dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\!dV}$ 

pri čemu referentne varijable mogu biti funkcije broja čestica N. Koristeći definiciju toplotnog kapaciteta pri konstantnoj zapremini za prvi diferencijal i odgovarajućeg Maxwellovog odnosa za drugi, imamo:

${\displaystyle \Delta S=\int _{T_{0}}^{T}{\frac {C_{V}}{T}}\,dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}dV.}$ 

Izražavajući C_V u terminima ĉ_V kako je razvijeno u gornjem odjeljku, diferenciranje jednadžbe stanja idealnog plina i integrirajućih prinosa su:

${\displaystyle \Delta S={\hat {c}}_{V}Nk\ln \left({\frac {T}{T_{0}}}\right)+Nk\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)}$ 

što implicira da se entropija može izraziti kao:

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{f(N)}}\right)}$ 

gdje su sve konstante ugrađene u logaritam kao f(N) što je neka funkcija broja čestica N koja ima iste dimenzije kao VT^ĉ_V kako bi argument logaritma bio bezdimenzijski. Tada se nameće ograničenje da entropija treba da bude opsežna. To će značiti da kada se opsežni parametri (V i N) pomnože sa konstantom, entropija će se pomnožiti sa istom to konstantom. Matematički:

${\displaystyle S(T,aV,aN)=aS(T,V,N).\,}$ 

Iz toga, izvodi se jednadžbA funkcije f(N)

${\displaystyle af(N)=f(aN).\,}$ 

Razlikovanjem ovoga u odnosu na a, postavljanjem a jednakim 1, a zatim rješavanjem diferencijalne jednadžbe, dobija se f(N):

${\displaystyle f(N)=\Phi N\,}$ 

Gdje Φ može varirati za različite plinove, ali će biti neovisni o njihovom termodinamičkom stanju. Imaće dimenzije VT^ĉ_V/N. Uvrštavanjem u jednadžbu za entropiju, slijedi:

${\displaystyle {\frac {S}{Nk}}=\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right).\,}$ 

i koristeći izraz za unutrašnju energiju idealnog plina, entropija se može napisati kao:

${\displaystyle {\frac {S}{Nk}}=\ln \left[{\frac {V}{N}}\,\left({\frac {U}{{\hat {c}}_{V}kN}}\right)^{{\hat {c}}_{V}}\,{\frac {1}{\Phi }}\right]}$ 

Budući da je ovo izraz za entropiju u terminima U, V i N, to je temeljna jednadžba iz koje mogu biti izvedena sva ostala svojstva idealnog plina.

Ovo je otprilike onoliko koliko se može ići koristeći samo termodinamiku. Gornja jednadžba je neispravna; kako se temperatura približava nuli, entropija se približava negativnoj beskonačnosti, u suprotnosti sa trećim zakonom termodinamike. U gore navedenom "idealnom" razvoju postoji kritična tačka, a ne apsolutna nula, u kojoj argument logaritma postaje jedinstven, a entropija nula. Ovo je nefizički. Gornja jednadžba dobra je aproksimacija samo kada je argument logaritma mnogo veći od unit  koncept idealnog plina raspada se pri malim vrijednostima V/N. Ipak, postojat će "najbolja" vrijednost konstante u smislu da je predviđena entropija što bliža stvarnoj entropiji, s obzirom na (nužno) pogrešnu pretpostavku idealnosti. Kvantno-mehanička derivacija ove konstante razvijena je u izvođenju Sackur-Tetrodeove jednadžbe. koja izražava entropiju monatomskog (ĉ_V  =   3/2) idealnog plina. U Sackur-Tetrodeovoj teoriji, konstanta ovisi samo o masi čestice plina. Njihova jednadžba također ima slabu primjenu kod divergentne entropije na apsolutnoj nuli, ali je dobra aproksimacija za entropiju monatomskog idealnog plina za dovoljno visoke temperature.

Alternativni način izražavanja promjene u entropiji je:

${\displaystyle {\frac {\Delta S}{Nk{\hat {c}}_{V}}}=\ln \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)+\gamma \ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)=\ln \left({\frac {PV^{\gamma }}{P_{0}V_{0}^{\gamma }}}\right)\implies PV^{\gamma }=const.\;{\text{za izentropski proces}}}$ 

Izraz entropije u funkciji T, V i N je:

${\displaystyle {\frac {S}{kN}}=\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right)}$ 

Hemijski potencijal idealnog plina izračunava se iz odgovarajuće jednadžbe stanja (vidi termodinamički potencijal):

${\displaystyle \mu =\left({\frac {\partial G}{\partial N}}\right)_{T,P}}$ 

gdje G = Gibbsova slobodna energija a jednaka je U + PV − TS, tako da je:

${\displaystyle \mu (T,P)=kT\left({\hat {c}}_{P}-\ln \left({\frac {kT^{{\hat {c}}_{P}}}{P\Phi }}\right)\right)}$ 

Hemijski potencijal se obično referira na potencijal pri nekom standardnom pritisku P^o tako da je, uz ${\displaystyle \mu ^{o}(T)=\mu (T,P^{o})}$ :

${\displaystyle \mu (T,P)=\mu ^{o}(T)+kT\ln \left({\frac {P}{Po}}\right)}$ 

Za smjese (j=1,2,...) idealnih plinova, pri parcijalnom pritisku P_j, može se pokazati da će gornji izraz dati pritisak hemijskog potencijala μ_j sa pritiskom P zamijenjeno sa P_j.

Termodinamički potencijali idealnog plina sada se mogu napisati kao funkcije T, V i N kao:

${\displaystyle U\,}$		${\displaystyle ={\hat {c}}_{V}NkT\,}$
${\displaystyle A\,}$	${\displaystyle =U-TS\,}$	${\displaystyle =\mu N-NkT\,}$
${\displaystyle H\,}$	${\displaystyle =U+PV\,}$	${\displaystyle ={\hat {c}}_{P}NkT\,}$
${\displaystyle G\,}$	${\displaystyle =U+PV-TS\,}$	${\displaystyle =\mu N\,}$

gdje, kao i gore,

${\displaystyle {\hat {c}}_{P}={\hat {c}}_{V}+1}$ .

To je najinformativniji način pisanja potencijala u smislu njihovih prirodnih varijabli, jer se svaka od ovih jednadžbi može koristiti za izvođenje svih ostalih termodinamičkih varijabli sistema. U pogledu njihovih prirodnih varijabli, termodinamički potencijali idealnog plina jedne vrste su:

${\displaystyle U(S,V,N)={\hat {c}}_{V}Nk\left({\frac {N\Phi }{V}}\,e^{S/Nk}\right)^{1/{\hat {c}}_{V}}}$ 
${\displaystyle A(T,V,N)=NkT\left({\hat {c}}_{V}-\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right)\right)}$ 
${\displaystyle H(S,P,N)={\hat {c}}_{P}Nk\left({\frac {P\Phi }{k}}\,e^{S/Nk}\right)^{1/{\hat {c}}_{P}}}$ 
${\displaystyle G(T,P,N)=NkT\left({\hat {c}}_{P}-\ln \left({\frac {kT^{{\hat {c}}_{P}}}{P\Phi }}\right)\right)}$ 

U statičkoj mehanici, odnos između Helmholtzove slobodne energije i particijske funkcije je osnovni i koristi se za izračunavanje termodinamičkih svojstava stvari; za više detalja, pogledajte configuration integral.

Brzina zvuka idealnog plina iznosi:

${\displaystyle c_{sound}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}}$ 

gdje:

${\displaystyle \gamma \,}$  = adijabatski odnos toplinskih kapaciteta C_p/C_v = c_p/c_v;
${\displaystyle R\,}$  = univerzalna plinska konstanta;
${\displaystyle T\,}$  = temperatura;
${\displaystyle M\,}$  = molarna masa plina

U gore spomenutoj Sackur-Tetrodeovoj jednadžbi, utvrđeno je da je najbolji izbor konstante entropije proporcionalan kvantu toplotne talasne dužine čestice i tački u kojoj argument logaritma postaje nula je približno jednaka tački u kojoj prosečna udaljenost između čestica postaje jednaka toplotnoj talasnoj dužini. Zapravo, kvantna teorija sama predviđa isto. Bilo koji plin se ponaša kao idealni plin, pri dovoljno visokoj temperaturi i dovoljno niskoj gustoći, ali u slučajevima kada se Sackur-Tetrodeova jednadžba počne raspadati, plin će se početi ponašati kao kvantni plin, sastavljen od bozona ili fermiona.

Plinovi se ponašaju kao idealni u širem rasponu pritisaka, kada temperatura dosegne Boyleovu temperaturu.

Idealni Boltzmannov plin

Idealni Boltzmannov plin daje iste rezultate kao i klasični termodinamički plin, ali ima sljedeću identifikaciju za neodređenu konstantu Φ:

${\displaystyle \Phi ={\frac {T^{\frac {3}{2}}\Lambda ^{3}}{g}}}$ 

gdje Λ = toplotna de Broglieova talasna dužina plina, a g = degeneracija stanja.

Idealni Boseovi i Fermijevi plinovi

Idealni Boseov plin (npr. fotonski plin) ponaša se po Bose-Einsteinovovoj statistici, a raspodjela energije je u obliku Bose-Einsteinove distribucije. Idealni Fermijev plin slijedi Fermi-Diracovu statistiku, a raspodjela energije je u obliku Fermi-Diracove distribucije.

• Faktor kompresibilnosti
• Dinamični bilijar
• Idealni rastvor