Тэарэма Гершгорына

Упершыню была апублікаваная ў 1931 року матэматыкам беларускага паходжаньня Сямёнам Гершгорынам.

Няхай ${\displaystyle A}$  — камплексная квадратная матрыца памерам ${\displaystyle n\times n}$  з элемэнтамі (${\displaystyle a_{ij}\,}$ ). Для ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$  няхай ${\displaystyle R_{i}=\sum _{j\neq {i}}\left|a_{ij}\right|}$ , дзе ${\displaystyle \left|a_{ij}\right|}$  — модуль ліку ${\displaystyle a_{ij}}$ . Няхай ${\displaystyle D(a_{ii},R_{i})}$  ёсьць замкнёным колам з цэнтрам у ${\displaystyle a_{ii}}$  і радыюсам ${\displaystyle R_{i}}$ . Такія колы называюцца коламі Гершгорына.

Тэарэма: кожны ўласны лік матрыцы ${\displaystyle A}$  ляжыць у межах прынамсі аднаго з Гершгорынавых колаў ${\displaystyle D(a_{ii},R_{i})}$ .

Доказ: Няхай ${\displaystyle \lambda }$  — уласны лік ${\displaystyle A}$ , а x = (x_j) — адпаведны яму ўласны вэктар. Няхай i ∈ {1, … n} будзе такое, што |x_i| = max_j |x_j|. Тады |x_i| > 0, бо ў адваротным выпадку x = 0, чаго ня можа быць з уласнымі вэктарамі (яны не нулявыя). З раўнаньня для ўласных значэньняў матрыцы маем ${\displaystyle Ax=\lambda x}$ , адсюль:

${\displaystyle \sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}.}$ 

Адымаючы з абодвух бакоў ${\displaystyle a_{ii}x_{i}}$ , атрымліваем:

${\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}.}$ 

І дзелім абодва бакі на ${\displaystyle x_{i}}$  (выбіраючы i як вышэй, упэўніваемся, што ${\displaystyle x_{i}\neq 0}$ ), а таксама бярэм модулі:

${\displaystyle |\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}\left|{\frac {a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i}}$ 

Тут апошняя няроўнасьць правільная, таму што

${\displaystyle \left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq 1\quad {\text{for }}j\neq i.}$ 

Выснова: Паколькі ўласныя значэньні матрыцы A^T такія самыя, як матрыцы A, гэтае сьцьверджаньне можна ўзмацніць — усе ўласныя значэньні матрыцы A мусяць ляжаць на скрыжаваньні сумы колаў Гершгорына матрыцы A і сумы колаў для матрыцы A^T.

Прыклад: для дыяганальнай матрыцы маем, што ўласныя значэньні мусяць быць роўныя элемэнтам, якія ляжаць на галоўнай дыяганалі.

• S. Gerschgorin. Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. — 1931. — № 6. — С. 749—754.
• R. S. Varga. Errata // Geršgorin and His Circles. — Berlin: Springer-Verlag, 2004. — ISBN 3-540-21100-4

• Planet Math  (анг.)
• Wolfram MathWorld  (анг.)