Поляр координаталар системаһы бигерәк тә нөктәләр араһындағы бәйләнеште радиустар һәм мөйөштәр рәүешендә һүрәтләү ябайыраҡ булған осраҡта файҙалы; киңерәк таралған Декарт , йәки тура мөйөшлө, координаталар системаһында ундай бәйләнештәрҙе тик тригонометрик тигеҙләмәләр ҡулланыу юлы менән генә булдырырға мөмкин.
Градустарҙа билдәләнгән бер нисә мөйөш һалынған поляр сетка. Поляр координаталар системаһы нулле нур, йәки поляр күсәр тип аталған нур менән бирелә. Был нур сыҡҡан нөктә координаталар башы, йәки полюс тип атала. Яҫылыҡтағы теләһә ниндәй нөктә радиаль һәм мөйөшлө ике поляр координата менән бирелә. Радиаль координата (ғәҙәттә r {\displaystyle r} азимут тип атала һәм φ {\displaystyle \varphi }
Ошолай итеп билдәләнгән радиаль координата нулдән сикһеҙлеккә тиклемге ҡиммәттәр ҡабул итә ала, ә мөйөшлө координата 0°-дән 360°-ҡа тиклем ҡиммәттәр ҡабул итә. Әммә, уңайлылыҡ өсөн поляр координатаның ҡиммәттәре өлкәһен тулы мөйөштән ситкә киңәйтергә, шулай уҡ уға поляр күсәрҙе сәғәт уғы йүнәлешендә бороуға тап килгән тиҫкәре ҡиммәттәр ҡабул итергә рөхсәт итергә лә мөмкин.
Тарихы
Мөйөш һәм радиус төшөнсәләре б. э. т. беренсе мең йыллыҡта уҡ билдәле булған. Грек астрономы Гиппарх (б. э. т. 190—120 йй.) төрлө мөйөштәр өсөн хордалар оҙонлоғо килтерелгән таблица төҙөй. Уның тарафынан күк есемдәренең урынын билдәләү өсөн поляр координаталар ҡулланылыуы тураһында мәғлүмәттәр бар. Архимед үҙенең «Спиралдәр» китабында Архимед спирален, радиусы мөйөшкә бәйле функцияны һүрәтләй. Әммә грек ғалимдарының хеҙмәттәре координаталар системаһын тулы билдәләүгә тиклем үҫешеп етмәй.
IX быуатта фарсы математигы Хаббаш әл-Хасиб (әл-Мәрүәзи́) поляр координаталарҙы үҙәге сфералағы ниндәйҙер нөктәлә булған икенсе координаталар системаһына үҙгәртеү өсөн картографик проекция һәм сфера тригонометрияһы ысулдарын ҡуллана, был осраҡта, Ҡибланы — Мәккәгә йүнәлеште билдәләү өсөн. Фарсы астрономы Әбү Райхан Бируни (973—1048) поляр координаталар системаһын һүрәтләүгә оҡшаған идеялар тәҡдим итә. Ул яҡынса 1025 йылда күк йөҙөнөң поляр экви-азимуталь тигеҙ аралыҡлы проекцияһын һүрәтләүсе беренсе кеше була.
Поляр координаталарҙы формаль координаталар системаһы сифатында индереү тураһында төрлө фекерҙәр бар. Поляр координаталар системаһының барлыҡҡа килеү тарихы һәм тикшеренеүҙәр Гарвард профессоры Джулиан Лоувел Кулидждың «Происхождение полярных координат» хеҙмәтендә һүрәтләнгән. Грегуар де Сен-Венсан һәм Бонавентура Кавальери бер-береһенә бәйһеҙ рәүештә, XVII быуат уртаһында шундай уҡ концепцияға киләләр. Сен-Венсан поляр системаны шәхси яҙмаларында 1625 йылда һүрәтләй, үҙенең хеҙмәттәрен 1647 йылда баҫтыра; ә Кавальери үҙенең хеҙмәттәрен 1635 йылда, ә төҙәтелгән версияны 1653 йылда баҫтыра. Кавальери поляр координаталарҙы Архимед спирале менән сикләнгән майҙанды иҫәпләү өсөн ҡуллана. Блез Паскаль аҙағыраҡ поляр координаталарҙы парабола дуғаһы оҙонлоғон иҫәпләү өсөн ҡуллана.
«Метод флюксий» китабында (инглизсә Method of Fluxions, 1671 йылда яҙылған, 1736 йылда баҫтырылған) сэр Исаак Ньютон поляр координаталар араһында үҙгәртеүҙе тикшерә, ул уларҙы «Етенсе ысул; Спиралдәр өсөн» («ингл. Seventh Manner; For Spirals »), һәм туғыҙ башҡа координаталар системалары тип аңлата. 1691 йылда Acta eruditorum журналында баҫылып сыҡҡан мәҡәләлә, Якоб Бернулли тура һыҙыҡта нөктә билдәләнгән система ҡуллана, уларҙы ул ярашлы рәүештә поляр күсәр һәм полюс тип атай. Координаталар полюстан алыҫлыҡ һәм поляр күсәрҙән мөйөш итеп бирелә. Бернулли хеҙмәте был координаталар системаһында бирелгән кәкре һыҙыҡтарҙың кәкрелек радиусын табыу проблемаһына арналған була.
«Поляр координаталар» терминын Грегорио Фонтана индергән тип иҫәпләйҙәр. XVIII быуатта ул итальян авторҙарының лексиконына инә. Инглиз теленә термин Сильвестр Лакруаның «Дифференциальное и интегральное исчисление» трактатының 1816 йылда Джордж Пикок эшләгән тәржемәһе аша инә Өс үлсәмле арауыҡ өсөн поляр координаталарҙы беренсе тапҡыр Алекси Клеро тәҡдим итә, ә Леонард Эйлер ярашлы системаны беренсе булып ентекләп эшләй.
График күҙаллау
Поляр координаталар системаһында нөктә. Поляр координаталар системаһында һәр нөктә ике поляр координата менән бирелә, ғәҙәттә r {\displaystyle r} ρ {\displaystyle \rho } φ {\displaystyle \varphi } θ {\displaystyle \theta } t {\displaystyle t} r {\displaystyle r} φ {\displaystyle \varphi }
Поляр радиус яҫылыҡтың теләһә ниндәй нөктәһе өсөн билдәле һәм һәр ваҡыт тиҫкәре булмаған ҡиммәттәр ҡабул итә r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} φ {\displaystyle \varphi } O {\displaystyle O} − π < φ ⩽ π {\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }
ыңғай йүнәлештә (сәғәт уғына ҡаршы йүнәлештә), әгәр мөйөштөң ҡиммәте ыңғай булһа; тиҫкәре йүнәлештә (сәғәт уғы йүнәлешендә), әгәр мөйөштөң ҡиммәте тиҫкәре булһа. Мәҫәлән, координаталары ( 3 , 60 ∘ ) {\displaystyle (3,\;60^{\circ })} ( 3 , − 300 ∘ ) {\displaystyle (3,\;-300^{\circ })}
Поляр координаталар системаһының мөһим үҙсәнлектәренең береһе булып, бер үк нөктәнең сикһеҙ күп ысулдар менән күрһәтелә алыуы тора. Был шунлыҡтан килеп сыға, азимутты билдәләү өсөн поляр күсәрҙе ул нөктәгә күрһәтерлек итеп борорға кәрәк. Ләкин нөктәгә йүнәлеш, ирекле һанда өҫтәлмә тулы әйләнеш яһауҙан үҙгәрмәй. Дөйөм осраҡта ( r , φ ) {\displaystyle (r,\;\varphi )} ( r , φ ± n × 360 ∘ ) {\displaystyle (r,\;\varphi \pm n\times 360^{\circ })} ( − r , φ ± ( 2 n + 1 ) × 180 ∘ ) {\displaystyle (-r,\;\varphi \pm (2n+1)\times 180^{\circ })} n {\displaystyle n} бөтөн һан .
Полюс ( 0 , φ ) {\displaystyle (0,\;\varphi )} φ {\displaystyle \varphi } r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} φ {\displaystyle \varphi } [ 0 , 360 ∘ ) {\displaystyle [0,\;360^{\circ })} ( − 180 ∘ , 180 ∘ ] {\displaystyle (-180^{\circ },\;180^{\circ }]} [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,\;2\pi )} ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}
Поляр координаталарҙа мөйөштәр йәки градустарҙа, йәки радиандарҙа бирелә, шуның менән бергә 2 π R A D = 360 ∘ {\displaystyle 2\pi \;\mathrm {RAD} =360^{\circ }} Навигацияла традиция буйынса градустар ҡулланыла, физиканың ҡайһы бер бүлектәрендә һәм математиканың бөтә бүлектәрендә тиерлек радиандар ҡулланыла.
Декарт һәм поляр координаталар араһында бәйләнеш r {\displaystyle r} φ {\displaystyle \varphi } x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} Декарт координаталарына синус һәм косинус тригонометрик функцияларын ҡулланып күсерергә була (шуның менән бергә, поляр координаталар системаһының нулле нуры Декарт системаһының x {\displaystyle x}
x = r cos φ , {\displaystyle x=r\cos \varphi ,} y = r sin φ , {\displaystyle y=r\sin \varphi ,} Ә ике x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} r {\displaystyle r}
φ {\displaystyle \varphi }
r ≡ 0 {\displaystyle {r\equiv 0}} φ {\displaystyle \varphi } r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} φ {\displaystyle \varphi } 2 π {\displaystyle 2\pi } [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,\;2\pi )} ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]} φ {\displaystyle \varphi } [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,\;2\pi )} a r c t g {\displaystyle \mathrm {arctg} }
θ = { arctg ( y x ) , x > 0 , y ≥ 0 arctg ( y x ) + 2 π , x > 0 , y < 0 arctg ( y x ) + π , x < 0 π 2 , x = 0 , y > 0 3 π 2 , x = 0 , y < 0 − x = 0 , y = 0 {\displaystyle \theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}} φ {\displaystyle \varphi } ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}
θ = { arctg ( y x ) , x > 0 arctg ( y x ) + π , x < 0 , y ≥ 0 arctg ( y x ) − π , x < 0 , y < 0 π 2 , x = 0 , y > 0 − π 2 , x = 0 , y < 0 − x = 0 , y = 0 {\displaystyle \theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}} Поляр мөйөштө иҫәпләү өсөн y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} atan функцияһынан тыш, үҙенең функциялары араһында тағы ла өҫтәлмә atan2 функцияһы бар, уларҙың числитель һәм знаменатель өсөн айырым аргументтары бар. Мотлаҡ белергә кәрәк булмаған аргументтарға булышлыҡ итеүсе программалау телдәрендә (мәҫәлән, Common Lispта), atan функцияһы x {\displaystyle x}
Кәкре һыҙыҡтарҙың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе
Поляр координаталар системаһының радиаль тәбиғәте арҡаһында, ҡайһы бер кәкре һыҙыҡтар ябай поляр тигеҙләмә менән бирелергә мөмкин, ә тура мөйөшлө координаталар системаһында тигеҙләмә күпкә ҡатмарлыраҡ булыр ине. Иң билдәле кәкре һыҙыҡтар араһында: поляр роза, Архимед спирале, Лемниската, Паскаль ҡусҡары һәм кардиоида.
Әйләнә r ( φ ) = 1 {\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=1}} Үҙәге ( r 0 , θ {\displaystyle r_{0},\;\theta } a {\displaystyle a}
r 2 − 2 r r 0 cos ( φ − θ ) + r 0 2 = a 2 . {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.} Был тигеҙәләмәне айырым осраҡтар өсөн ябайлаштырып була, мәҫәлән
r ( φ ) = a {\displaystyle r(\varphi )=a} үҙәге полюста һәм радиусы a {\displaystyle a}
Тура һыҙыҡ Радиаль тура һыҙыҡтар (полюс аша үткәндәре) түбәндәге тигеҙләмә менән бирелә
φ = θ , {\displaystyle \varphi =\theta ,} бында θ {\displaystyle \theta } θ = a r c t g m {\displaystyle \theta =\mathrm {arctg} \,m} m {\displaystyle m} φ = θ {\displaystyle \varphi =\theta } ( r 0 , θ ) {\displaystyle (r_{0},\;\theta )}
r ( φ ) = r 0 sec ( φ − θ ) . {\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).} Поляр роза Поляр роза r ( φ ) = 2 sin 4 φ {\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=2\sin 4\varphi }} Поляр роза — сәскә таждарына оҡшаған билдәле математик кәкре һыҙыҡ. Ул поляр координаталарҙа, ирекле θ 0 {\displaystyle \theta _{0}}
r ( φ ) = a cos ( k φ + θ 0 ) {\displaystyle r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})} Әгәр k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 2 k {\displaystyle 2k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} a {\displaystyle a}
Әгәр радиус тиҫкәре була алмай тип иҫәпләһәк, натураль k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} r ( φ ) = cos ( 2 φ ) {\displaystyle r(\varphi )=\cos(2\varphi )}
Архимед спирале 0 < θ < 6 π {\displaystyle \scriptstyle {0<\theta <6\pi }} r ( φ ) = φ {\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=\varphi }} Архимед спирале уны уйлап табыусы, боронғо грек математигы Архимед хөрмәтенә аталған. Был спиралде ябай поляр тигеҙләмә ярҙамында бирергә мөмкин:
r ( φ ) = a + b φ . {\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} константа булған урамдар араһындағы алыҫлыҡтың үҙгәреүенә килтерә. Архимед спираленең ике тармағы бар, береһе φ > 0 {\displaystyle \varphi >0} φ < 0 {\displaystyle \varphi <0}
Конус киҫелештәре Эллипс. Фокустарының береһе полюста, ә икенсеһе поляр күсәрҙә ҡайҙалыр (бәләкәй ярымкүсәр поляр күсәр буйлап ятырлыҡ итеп) урынлашҡан конус киҫелеше түбәндәге тигеҙләмә менән бирелә:
r = ℓ 1 − e cos φ , {\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }},} бында e {\displaystyle e} ℓ {\displaystyle \ell } e > 1 {\displaystyle e>1} e = 1 {\displaystyle e=1} e < 1 {\displaystyle e<1} e = 0 {\displaystyle e=0} ℓ {\displaystyle \ell }
Комплекслы һандар
Комплекслы яҫылыҡта билдәләнгән комплекслы һан z {\displaystyle \scriptstyle {z}} Эйлер формулаһын ҡулланып графикта билдәләнгән комплекслы һан миҫалы.Һәр комплекслы һан комплекслы яҫылыҡта нөктә менән күрһәтелергә мөмкин, һәм, ярашлы рәүештә, был нөктә Декарт координаталарында (тура мөйөшлө йәки Декарт формаһында), йәки поляр координаталарҙа (поляр форма) бирелергә мөмкин. z {\displaystyle z}
z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,} бында i {\displaystyle i}
z = r ⋅ ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )} һәм ошонан сығып:
z = r e i φ , {\displaystyle z=re^{i\varphi },} бында e {\displaystyle e} φ {\displaystyle \varphi }
Комплекслы һандарҙың тура мөйөшлө һәм поляр формала күренештәре араһында күсеү өсөн, юғарыла килтерелгән координаталар системалары араһында үҙгәртеү формулаларын ҡулланырға мөмкин.
Комплекслы һандар менән ҡабатлау, бүлеү һәм дәрәжәгә күтәреү ғәмәлдәрен поляр формала башҡарыу ябайыраҡ. Дәрәжәгә күтәреү ҡағиҙәләренә ярашлы:
r 0 e i φ 0 ⋅ r 1 e i φ 1 = r 0 r 1 e i ( φ 0 + φ 1 ) . {\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\cdot r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\varphi _{0}+\varphi _{1})}.} r 0 e i φ 0 r 1 e i φ 1 = r 0 r 1 e i ( φ 0 − φ 1 ) . {\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}.} Дәрәжәгә күтәреү (Муавр формулаһы): ( r e i φ ) n = r n e i n φ . {\displaystyle (re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi }.} Математик анализда
Математик анализ операцияларын шулай уҡ поляр координаталарҙы файҙаланып әйтеп бирергә мөмкин.
Дифференциаль иҫәпләү Түбәндәге формулалар дөрөҫ:
r ∂ ∂ r = x ∂ ∂ x + y ∂ ∂ y , {\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}},} ∂ ∂ φ = − y ∂ ∂ x + x ∂ ∂ y . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.} Поляр кәкре һыҙыҡтың теләһә ниндәй бирелгән нөктәһендә үткәрелгән тейеүсенең r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )}
x = r ( φ ) cos φ , {\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi ,} y = r ( φ ) sin φ . {\displaystyle y=r(\varphi )\sin \varphi .} Ике тигеҙләмәне лә φ {\displaystyle \varphi } дифференциаллап табабыҙ:
d x d φ = r ′ ( φ ) cos φ − r ( φ ) sin φ , {\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,} d y d φ = r ′ ( φ ) sin φ + r ( φ ) cos φ . {\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .} Был тигеҙләмәләрҙе бүлеп (икенсеһен беренсеһенә), Декарт координаталар системаһында ( r , r ( φ ) ) {\displaystyle (r,\;r(\varphi ))}
d y d x = r ′ ( φ ) sin φ + r ( φ ) cos φ r ′ ( φ ) cos φ − r ( φ ) sin φ . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.} Интеграль иҫәпләү r ( φ ) {\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )}} φ = a {\displaystyle \scriptstyle {\varphi =a}} φ = b {\displaystyle \scriptstyle {\varphi =b}} R {\displaystyle \scriptstyle {R}} R {\displaystyle R} r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )} φ = a {\displaystyle \varphi =a} φ = b {\displaystyle \varphi =b} 0 < b − a < 2 π {\displaystyle 0
1 2 ∫ a b [ r ( φ ) ] 2 d φ . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .} R {\displaystyle \scriptstyle {R}} n {\displaystyle n} n = 5 {\displaystyle \scriptstyle {n=5}} Бындай һөҙөмтәне шулайтып табып була. Тәүҙә [ a , b ] {\displaystyle [a,\;b]} n {\displaystyle n} Δ φ {\displaystyle \Delta \varphi } b − a {\displaystyle b-a} n {\displaystyle n} i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n} φ i {\displaystyle \varphi _{i}} r ( φ i ) {\displaystyle r(\varphi _{i})} Δ φ {\displaystyle \Delta \varphi } r ( φ i ) Δ φ {\displaystyle r(\varphi _{i})\Delta \varphi } 1 2 r ( φ i ) 2 Δ φ {\displaystyle {\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi }
∑ i = 1 n 1 2 r ( φ i ) 2 Δ φ . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .} Әгәр аҫинтервалдарҙың n {\displaystyle n} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } Δ φ → 0 {\displaystyle \Delta \varphi \to 0}
lim Δ φ → 0 ∑ i = 1 ∞ 1 2 r ( φ i ) 2 Δ φ = 1 2 ∫ a b [ r ( φ ) ] 2 d φ . {\displaystyle \lim _{\Delta \varphi \to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .} Дөйөмләштереү Декарт координаталарын ҡулланып, сикһеҙ бәләкәй элементтың майҙаны d A = d x d y {\displaystyle dA=dx\,dy}
J = det ∂ ( x , y ) ∂ ( r , φ ) = | ∂ x ∂ r ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ φ | . {\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}.} Поляр координаталар системаһында, Якоби матрицаһы билдәләүсеһе r {\displaystyle r}
J = | cos φ − r sin φ sin φ r cos φ | = r cos 2 φ + r sin 2 φ = r . {\displaystyle J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.} Ошонан сығып, элементтың майҙанын поляр координаталарҙа ошолай яҙырға мөмкин:
d A = J d r d φ = r d r d φ . {\displaystyle dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .} Хәҙер, поляр координаталарҙа яҙылған функция түбәндәгесә интегралланырға мөмкин:
∬ R f ( r , φ ) d A = ∫ a b ∫ 0 r ( φ ) f ( r , φ ) r d r d φ . {\displaystyle \iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{r(\varphi )}f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .} Бында R {\displaystyle R} r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )} φ = a {\displaystyle \varphi =a} φ = b {\displaystyle \varphi =b}
Бынан алдағы бүлектә тасуирланған майҙанды табыу өсөн формула f = 1 {\displaystyle f=1}
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.} Поляр координаталар өсөн векторлы анализ элементтарын ҡулланырға мөмкин. Теләһә ниндәй F {\displaystyle \mathbf {F} }
e r = ( cos φ , sin φ ) {\displaystyle \mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )} r {\displaystyle \mathbf {r} }
e φ = ( − sin φ , cos φ ) ; {\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );} F = F r e r + F φ e φ . {\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}\mathbf {e} _{r}+F_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.} F x {\displaystyle F_{x}} F y {\displaystyle F_{y}}
F x = F r cos φ − F φ sin φ ; {\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;} F y = F r sin φ + F φ cos φ . {\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .} Ярашлы рәүештә поляр координаталар системаһында векторлы анализ операторҙары бирелә. Мәҫәлән, скаляр яландың градиенты Φ ( r , φ ) {\displaystyle \Phi (r,\;\varphi )}
g r a d Φ = ∂ Φ ∂ r e r + 1 r ∂ Φ ∂ φ e φ . {\displaystyle \mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }.} Өс үлсәмле киңәйтеү
Поляр координаталар системаһы өсөнсө үлсәмгә ике система менән киңәйтелә: цилиндрик һәм сфералы, икеһе өсөн дә ике үлсәмле поляр координаталар системаһы аҫкүмәклек. Асылда, цилиндрик система расширяет поляр координаталар системаһын тағы бер алыҫлыҡ координатаһын өҫтәп киңәйтә, ә сфералы — тағыла бер мөйөш координатаһын.
Цилиндрик координаталар P {\displaystyle \scriptstyle {P}} Төп мәҡәлә: Цилиндрик координаталар системаһы
Цилиндрик координаталар системаһы, тураһын әйткәндә, яҫы поляр системаны, Декарт системаһы өс үлсәм осрағында киңәйгән кеүек, «бейеклек» тип аталған һәм нөктәнең нуль яҫылығынан бейеклегенә тигеҙ булған өсөнсө һыҙыҡлы координата өҫтәп киңәйтә. Өсөнсө координата ғәҙәттә z {\displaystyle z} ( ρ , φ , z ) {\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}
Өс цилиндрик координатаны Декарт системаһына түбәндәге үҙгәртеүҙәр менән күсереп була:
{ x = ρ cos φ ; y = ρ sin φ ; z = z . {\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases}}} Сферик координаталар Нөктә сферик координаталар системаһында билдәләнгән. Төп мәҡәлә: Сферик координаталар системаһы
Шулай уҡ поляр координаталарҙы өс үлсәм осрағына, z {\displaystyle z} θ {\displaystyle \theta } ( r , φ , θ ) {\displaystyle (r,\;\varphi ,\;\theta )} r {\displaystyle r} φ {\displaystyle \varphi } x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta } δ {\displaystyle \delta } θ {\displaystyle \theta } δ = 90 ∘ − θ {\displaystyle \delta =90^{\circ }-\theta } l {\displaystyle l} l = φ − 180 ∘ {\displaystyle l=\varphi -180^{\circ }}
Өс сферик координатаны Декарт системаһына түбәндәге үҙгәртеүҙәр менән күсереп була:
{ x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ . {\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases}}} n үлсәм осрағына дөйөмләштереү Поляр координаталар системаһын n {\displaystyle n} x i ∈ R {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} } i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\;\ldots ,\;n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} x i + 2 {\displaystyle x_{i+2}}
Дөйөмләштерелгән n {\displaystyle n}
x 1 = r cos φ sin ϑ 1 sin ϑ 2 … sin ϑ n − 3 sin ϑ n − 2 ; x 2 = r sin φ sin ϑ 1 sin ϑ 2 … sin ϑ n − 3 sin ϑ n − 2 ; x 3 = r cos ϑ 1 sin ϑ 2 … sin ϑ n − 3 sin ϑ n − 2 ; x 4 = r cos ϑ 2 … sin ϑ n − 3 sin ϑ n − 2 ; … … … x n − 1 = r cos ϑ n − 3 sin ϑ n − 2 ; x n = r cos ϑ n − 2 . {\displaystyle {\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{n-1}&=&r\cos \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{n-2}.\end{array}}} n = 2 {\displaystyle n=2} n = 3 {\displaystyle n=3}
Поляр координаталарҙы Декарт координаталарына үҙгәртеү якобианы түбәндәге формула менән бирелә:
det ∂ ( x 1 , … , x n ) ∂ ( r , φ , ϑ 1 , … , ϑ n − 2 ) = r n − 1 sin ϑ 1 ( sin ϑ 2 ) 2 … ( sin ϑ n − 2 ) n − 2 , {\displaystyle \det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1},\;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2},} бында күләмдең n {\displaystyle n}
d V = r n − 1 sin ϑ 1 ( sin ϑ 2 ) 2 … ( sin ϑ n − 2 ) n − 2 d r d φ d ϑ 1 … d ϑ n − 2 = {\displaystyle dV=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{n-2}=} = r n − 1 d r d φ ∏ j = 1 n − 2 ( sin ϑ j ) j d ϑ j . {\displaystyle =r^{n-1}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\,d\vartheta _{j}.} Ҡулланылышы Поляр координаталар системаһы ике үлсәмле һәм шуға күрә ул яҫылыҡта нөктәнең урынын асыҡлағанда ғына, йәки өсөнсө үлсәмдә система үҙсәнлектәренең бер төрлөлөгө осрағы өсөн ҡулланыла ала, мәҫәлән, түңәрәк торбала ағымды ҡарағанда. Поляр координаталарҙы ҡулланыуҙың иң яҡшы контексы булып, йүнәлеш һәм ниндәйҙер үҙәктән алыҫлыҡ менән тығыҙ бәйләнгән осраҡтар тора. Мәҫәлән, юғарыла килтерелгән миҫалдарҙан күренеүенсә, Архимед спирале кеүек кәкреләрҙе поляр координаталарҙа биреү өсөн ябай тигеҙләмәләр етә, уларҙың тура мөйөшлө координаталар системаһынды тигеҙләмәләре күпкә ҡатмарлыраҡ. Бынан тыш, үҙәк тирәләй әйләнеүсе есемдәре булған күп физик системаларҙың, йәки ниндәйҙер үҙәктән таралған күренештәрҙең моделен поляр координаталарҙа эшләү күпкә еңелерәк. Поляр координаталар системаһын булдырыуҙың сәбәбе орбиталь һәм түңәрәк буйлап хәрәкәтте тикшереү була.
Позиционирование һәм навигация Поляр координаталар системаһын йыш ҡына навигацияла ҡулланалар, сөнки тәғәйенләнгән пунктты башланғыс нөктәнән алыҫлыҡ һәм хәрәкәт йүнәлеше менән бирергә мөмкин. Мәҫәлән, авиацияла, навигация өсөн поляр координаталарҙың бер аҙ үҙгәргән версияһын ҡулланалар. Ғәҙәттә навигация өсөн ҡулланылған был системала 0° нурын йүнәлеш 360 тип атайҙар, ә мөйөштәр сәғәт уғы йүнәлешендә иҫәпләнәләр. Йүнәлеш 360 магнитлы төньяҡҡа, ә 90, 180, һәм 270 йүнәлештәре магнитлы көнсығыш, көньяҡ һәм көнбайышҡа тап килә. Шулай, көнсығышҡа 5 диңгеҙ миле осҡан самолётты 90 йүнәлешендә (осош менән идара итеү үҙәге уны найн-зиро тип атай) 5 берәмек осҡан самолёт итеп һүрәтләргә мөмкин.
Моделләштереү Сәнәғәт тауыш көсәйткесенең тауыш тулҡыны ҡеүәте фронты сферик поляр координаталарҙа алты йышлыҡта күрһәтелгән. Координаталар системаһының полюсы симметрия үҙәге менән тап килгән радиаль симметриялы системалар, радиаль координаталарҙа һүрәтләү өсөн бик яҡшы тура киләләр. Миҫал итеп радиаль симметрик ҡоҙоҡ осрағында, грунт һыуҙары ағымы тигеҙләмәһен килтерергә мөмкин. Үҙәк көстәре булған системалар шулай уҡ поляр координаталарҙа моделләштереү өсөн яраҡлы. Ундай системаларға кире-квадрат бәйләнеш законына буйһонған гравитацион ҡыр, шулай уҡ радиоантенна кеүек нөктәле энергия сығанағы булған системалар инә.
Динамиктар тауышын өс үлсәмле моделләштереү уларҙың эффективлығына прогноз яһау өсөн ҡулланылырға мөмкин. Поляр координаталарҙа йышлыҡтарҙың киң диапазоны өсөн бер нисә диаграмма эшләргә кәрәк, сөнки тауыш йышлығына бәйле рәүештә фронт һиҙелерлек үҙгәрә. Поляр диаграммалар күп тауыш көсәйткестәрҙең йышлыҡ кәмеү менән йүнәлешлеге юғала икәнен күрергә ярҙам итәләр.
Шулай уҡ микрофондарҙың , тауыш тулҡынының микрофондың акустика күсәренә ҡарата α {\displaystyle \alpha } M α {\displaystyle M_{\alpha }}
φ = M α M 0 . {\displaystyle \varphi ={\frac {M_{\alpha }}{M_{0}}}.} Шулай уҡ ҡарағыҙ Системы координат в элементарной математике Системы координат Иҫкәрмәләр Әҙәбиәт Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. (недоступная ссылка) Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, стр. 47-50. Һылтанмалар
This article uses material from the Wikipedia Башҡорт article Поляр координаталар системаһы , which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0") ; additional terms may apply (view authors ). Башҡа шарт булмаһа, CC BY-SA 4.0 лицензияһына ярашлы, эстәлек менән һәр кем файҙалана ала. Images, videos and audio are available under their respective licenses. Wiki Башҡорт (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.
(Пифагор теоремаһы буйынса).
өсөн,
өсөн,
интервалы менән сикләнергә кәрәк. Ғәҙәттә
тигеҙләмәһе менән бирелгән түңәрәк.
.svg)
тигеҙләмәһе менән бирелгән.
.
өсөн 
тигеҙләмәһе менән бирелгән Архимед спираленең бер тармағы.
миҫалы.
поляр кәкреһе һәм 
һәм 
нурҙары менән яһалған 
өлкәһе.
).
нөктәһе цилиндрик координаталар системаһында билдәләнгән.
