Berechne in
Es seieinealgebraische Körpererweiterung.Zeige, dass dann auch die Körpererweiterung
derrationalen Funktionenkörperalgebraisch ist.
Es sei ein Körper.Zeige, dass in einerKörpererweiterungder Form
algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinemalgebraischen Abschlussin übereinstimmt.
Zeige
Zeige, dass eine Unterfamilie eineralgebraisch unabhängigenFamilie wieder algebraisch unabhängig ist.
Es seien positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängigist.
Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängigist.
Es seien und kommutative-Algebrenüber einemkommutativen Ring und seieinsurjektiver-Algebrahomomorphismus.Es seienElemente derart, dass algebraisch unabhängigüber sind. Zeige, dass die algebraisch unabhängig sind.
Es sei einekommutative-Algebraüber einemkommutativen Ring und seieneine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
istinjektiv.
istbijektiv.
Es seienundKörpererweiterungen.Es seieinealgebraisch unabhängigüber undalgebraisch unabhängig über . Zeige, dass die Familie
algebraisch unabhängig über ist.
Es sei derPolynomringüber einemKörper und seien Polynome gegeben. Zeige, dass diesealgebraisch abhängigsind.
Es seien Elemente eines Körpers und seien algebraisch unabhängig.Zeige, dass die Familie genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn transzendentüber ist.
Besitzt die Körpererweiterungeine endlicheTranszendenzbasis?
Es seieine Familie von reellen Zahlen.Zeige, dass es daraus einealgebraisch unabhängigeTeilfamilie gibt.
Es ist übrigens unbekannt, ob die beiden transzendenten Zahlen und algebraisch unabhängig über sind.
Es seieineKörpererweiterung.Zeige, dass eine echte Unterfamilie einer Transzendenzbasisvon über keine Transzendenzbasis ist.
Es seieineKörpererweiterungundeinealgebraische Körpererweiterung.Es sei eineTranszendenzbasisvon über . Zeige, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von über ist.
Es sei einKörperderCharakteristik undPolynome, die für denKörper der rationalen Funktionen eineTranszendenzbasisüber bilden. Es sei einPrimpolynom.Zeige, dass die Restklassen der im Quotientenkörper eine Transzendenzbasis bilden.
Bestimme den Transzendenzgraddes von den beiden trigonometrischen FunktionenSinus und Kosinus über erzeugten Körpers.
Diskutiere Gemeinsamkeiten zwischen dem Konzept lineare Unabhängigkeit(Basis,Dimension)und dem Konzept algebraische Unabhängigkeit(Transzendenzbasis,Transzendenzgrad).
Es sei einKörperundderrationale Funktionenkörperin Variablen. Es seieine endliche Untergruppe der Galoisgruppe.Zeige, dass der TranszendenzgraddesFixkörpers über gleich ist.
Wir betrachten den Funktionenkörper in zwei Variablen über einem Körper derCharakteristik. Die Gruppe ist eine Untergruppe derGaloisgruppe, indem manals den durch festgelegten Automorphismus auffasst. Bestimme den Fixkörper sowie dessenTranszendenzgradüber .
Wir betrachten den Funktionenkörperüber einem Körper . Wie betrachten auf der Menge aller Zwischenkörper die Relation, die durch
falls es einen Zwischenkörper derart gibt, dass und endliche Körpererweiterungensind, gegeben ist. Zeige, dass es sich dabei um eineÄquivalenzrelationhandelt.
Zeige, dass die rationalen Funktionen(in den zwei Variablen und )
und
die Relation
erfüllen.
Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper,die den gleichen Transzendenzgradhaben, die aber nicht zueinanderäquivalentim Sinne vonAufgabe 28.23sind.
Das Polynomist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung
vom Grad . Es sei eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es seidie Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.
ein -Automorphismus auf gegeben ist.
ein -Automorphismus auf der Ordnung gegeben ist.
Es sei.Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper die Gruppe der-Körperautomorphismen,die durch erzeugt wird, wobei eine primitive -te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme denFixkörper.
Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängigist.
Es sei einKörperundderrationale Funktionenkörperin Variablen. Wir knüpfen anBeispiel 10.12an.
Es seiderrationale Funktionenkörperüber einem Körper . Wie betrachten auf der Menge aller Zwischenkörper die ÄquivalenzrelationausAufgabe 28.23.Zeige, dass derTranszendenzgradauf den Äquivalenzklassenwohldefiniert ist.
Es seiderrationale Funktionenkörperüber einem Körper . Es seien Zwischenkörper
mit der Eigenschaft gegeben, dass dieKörpererweiterungen
endlichseien. Zeige, dass es dann auch einen Zwischenkörper derart gibt, dassendlich sind.
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