Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 27

Was ist eigentlich ein „Winkel“?

Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.

Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich vielekonstruierbarePunkte gibt.

Zeige auf möglichst viele verschiedene Arten, dass die Menge der konstruierbaren Zahlen auf dem komplexen Einheitskreisdichtliegen.

Bestimme für alle ${\displaystyle {}n\leq 30}$, ob das regelmäßige ${\displaystyle {}n}$-Eck mit Zirkel und Linealkonstruierbarist oder nicht.

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}n}$ zwischen ${\displaystyle {}100}$ und ${\displaystyle {}200}$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige ${\displaystyle {}n}$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Welche der Winkel

${\displaystyle 10^{\circ },\,20^{\circ },\,30^{\circ },\,40^{\circ },\ldots ,350^{\circ }}$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine zu ${\displaystyle {}360}$ teilerfremdenatürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel ${\displaystyle {}n^{\circ }}$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Man gebe einen Winkel${\displaystyle {}a^{\circ }}$, ${\displaystyle {}0<a<1}$,an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Es seien${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$konstruierbare Zahlen.Zeige, dass die Menge der konstruierbaren Strahlen, die von ${\displaystyle {}P}$ ausgehen, in einer natürlichen Bijektion zur Menge der konstruierbaren Strahlen steht, die von ${\displaystyle {}Q}$ ausgehen.

Es sei ${\displaystyle {}\beta }$ ein Winkel, der durch zwei konstruierbare (Halb)-Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel ${\displaystyle {}\beta }$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Es sei ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{2}}$ und

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

eine Drehung um den Drehpunkt ${\displaystyle {}P}$ um den Winkel${\displaystyle {}\beta }$, ${\displaystyle {}0^{\circ }<\beta <360^{\circ }}$, mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel ${\displaystyle {}\beta }$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.

Zeige, dass ein Kreisteilungskörper${\displaystyle {}K_{}}$ genau dann ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist, wenn sein Grad eine Zweierpotenz ist.

Bestimme dieGaloisgruppefür denKreisteilungskörper${\displaystyle {}K_{15}}$.

Bestimme dieGaloisgruppefür die konstruierbarenKreisteilungskörper.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl.Wir betrachten die Körperkette derKreisteilungskörper

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{p}\subseteq K_{p^{2}}\subseteq K_{p^{3}}\subseteq \ldots \,.}$

Es sei

${\displaystyle {}L_{p}:=\bigcup _{r\in \mathbb {N} }K_{p^{r}}\,.}$

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ein Körper ist.
2. Zeige, dass die Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$algebraisch,aber nichtendlichist.
3. Für welche Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ besteht ${\displaystyle {}L_{p}}$ nur auskonstruierbaren Zahlen?

Beweise die Formel

${\displaystyle {}\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,}$

aus denAdditionstheoremenfür die trigonometrischen Funktionen.

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

Zeige, dass es nicht für jedekonstruierbare Zahl${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ einenKreisteilungskörper${\displaystyle {}K_{n}}$ mit ${\displaystyle {}z\in K_{n}}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige ${\displaystyle {}n}$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke ${\displaystyle {}S}$ durch zwei Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in E}$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges ${\displaystyle {}n}$-Eck ${\displaystyle {}R}$ derart, dass ${\displaystyle {}S}$ eine der Kanten von ${\displaystyle {}R}$ wird.

Welche der Winkel

${\displaystyle 1^{\circ },\,2^{\circ },\,3^{\circ },\,4^{\circ },\ldots ,10^{\circ }}$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?