Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 28

Wir zeigen, dass man ${\displaystyle {}f_{m}}$ durch eines der ${\displaystyle {}g_{j}}$ ersetzen kann. Da die Körpererweiterung${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq L}$algebraisch ist, gibt es zu jedem ${\displaystyle {}g_{j}}$ ein irreduzibles Polynom${\displaystyle {}P_{j}\in K(f_{1},\ldots ,f_{m})[T]}$ mit${\displaystyle {}P_{j}(g_{j})=0}$.Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der ${\displaystyle {}P_{j}}$ und können dann annehmen, dass ${\displaystyle {}P_{j}\in K[f_{1},\ldots ,f_{m}][T]}$ gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche ${\displaystyle {}P_{j}}$ sogar zu ${\displaystyle {}K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]}$ gehören. Dann wäre die Körperkette

${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})\subseteq K(g_{1},\ldots ,g_{n})\subseteq L\,}$

eine nachAufgabe 10.4algebraische Erweiterung und insbesondere wäre ${\displaystyle {}f_{m}}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})}$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die ${\displaystyle {}f_{i}}$ algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein ${\displaystyle {}P_{j}}$ mit ${\displaystyle {}P_{j}\notin K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}][T]}$. Wir schreiben

${\displaystyle {}P_{j}=\sum _{k=0}^{r}\alpha _{k}T^{k}\,}$

mit

${\displaystyle {}\alpha _{k}=\sum _{\ell =0}^{s}\beta _{k,\ell }f_{m}^{\ell }\,}$

und ${\displaystyle {}\beta _{k,\ell }\in K[f_{1},\ldots ,f_{m-1}]}$. Dabei ist zumindest ein${\displaystyle {}\beta _{k,\ell }\neq 0}$für ein${\displaystyle {}\ell \geq 1}$.Daher können wir die Gleichung${\displaystyle {}P_{j}(g_{j})=0}$als eine algebraische Gleichung für ${\displaystyle {}f_{m}}$ über ${\displaystyle {}K[f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}]}$ lesen. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}f_{m}}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j})}$ ist.

Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{m-1},g_{j}}$ eine Transzendenzbasis von ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$ ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass ${\displaystyle {}L}$ darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste ${\displaystyle {}g_{j}}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})}$ sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch ${\displaystyle {}f_{m}}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{m-1})}$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

Es sei ${\displaystyle {}m}$ die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit ${\displaystyle {}m}$ Elementen gibt. Es sei ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{m}}$ eine Transzendenzbasis und ${\displaystyle {}g_{1},\ldots ,g_{n}}$ eine weitere Transzendenzbasis mit

${\displaystyle {}n\geq m\,}$

Elementen. Wir wendenLemma 28.8sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen

${\displaystyle g_{j_{1}},f_{2},\ldots ,f_{m},}$

${\displaystyle g_{j_{1}},g_{j_{2}},f_{3},\ldots ,f_{m},}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},f_{m},}$

${\displaystyle g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},g_{j_{m}},}$

wobei die ${\displaystyle {}g_{j_{i}}}$ Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit ${\displaystyle {}m}$ Elementen(es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von ${\displaystyle {}m}$).Bei${\displaystyle {}n>m}$würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist${\displaystyle {}n=m}$.

Dies folgt direkt daraus, dass die Variablen ${\displaystyle {}X_{1},\ldots ,X_{n}}$ eineTranszendenzbasisvon ${\displaystyle {}K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ und von ${\displaystyle {}L}$ bilden und dass man nachSatz 28.9den Transzendenzgrad mit jeder Basis bestimmen kann.

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt ausLemma 28.3.Von (2) nach (3) ist klar, sei also (3) erfüllt. Da eine Isomorphie vorliegt, und derTranszendenzgradeine(wohldefinierte)invariante einer Körpererweiterung ist, besitzt der Körper ${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ den Transzendenzgrad ${\displaystyle {}n}$. Von diesem Körper ist ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ eine Transzendenzbasisund insbesondere algebraisch unabhängig.

Es sei ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L}$ eineTranszendenzbasisvon ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M}$ eine Transzendenzbasis von ${\displaystyle {}M}$ über ${\displaystyle {}L}$. NachAufgabe 28.10ist ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}}$ algebraisch unabhängigüber ${\displaystyle {}K}$. Nach Voraussetzung ist${\displaystyle {}K(x_{1},\ldots ,x_{n})\subseteq L}$algebraisch. Daher ist auch

${\displaystyle {}K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq L(y_{1},\ldots ,y_{m})\,}$

algebraisch. Da auch${\displaystyle {}L(y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M}$algebraisch ist, folgt mitAufgabe 10.4,dass${\displaystyle {}K(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})\subseteq M}$algebraisch ist.

Dies folgt unmittelbar ausKorollar 28.13.