Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 28

Berechne in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} (X,Y)}$

${\displaystyle {\frac {7X^{2}-XY^{3}+Y^{4}}{5X-{\frac {1}{3}}Y^{4}}}\cdot {\frac {1}{X^{2}Y^{3}}}+{\frac {3X^{3}+X^{2}Y^{2}-XY^{2}}{2+4X^{3}-X^{257}}}\cdot {\frac {1}{X^{2}Y^{3}}}-{\frac {1}{7}}X^{3}+XY+Y^{6}+9}$

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$einealgebraische Körpererweiterung.Zeige, dass dann auch die Körpererweiterung

${\displaystyle {}K(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq L(X_{1},\ldots ,X_{n})\,}$

derrationalen Funktionenkörperalgebraisch ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.Zeige, dass ${\displaystyle {}K}$ in einerKörpererweiterungder Form

${\displaystyle {}K\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,}$

algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinemalgebraischen Abschlussin ${\displaystyle {}K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ übereinstimmt.

Zeige

${\displaystyle {}\mathbb {R} (X_{1},\ldots ,X_{n})[{\mathrm {i} }]={\mathbb {C} }(X_{1},\ldots ,X_{n})\,.}$

Zeige, dass eine Unterfamilie eineralgebraisch unabhängigenFamilie wieder algebraisch unabhängig ist.

Es seien ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{n}}$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Familie ${\displaystyle {}X_{1}^{e_{1}},\ldots ,X_{n}^{e_{n}}}$ im Polynomring ${\displaystyle {}K[X,\ldots ,X_{n}]}$ über einem Körper${\displaystyle {}K}$ algebraisch unabhängigist.

Zeige, dass die Familie ${\displaystyle {}X+Y,XY}$ im Polynomring ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ über einem Körper${\displaystyle {}K}$ algebraisch unabhängigist.

Es seien${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$kommutative${\displaystyle {}R}$-Algebrenüber einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ und sei${\displaystyle {}\varphi \colon A\rightarrow B}$einsurjektiver${\displaystyle {}R}$-Algebrahomomorphismus.Es seien${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A}$Elemente derart, dass ${\displaystyle {}\varphi {\left(f_{1}\right)},\ldots ,\varphi {\left(f_{n}\right)}}$ algebraisch unabhängigüber ${\displaystyle {}R}$ sind. Zeige, dass die ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ algebraisch unabhängig sind.

Es sei ${\displaystyle {}A}$ einekommutative${\displaystyle {}R}$-Algebraüber einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ und seien${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A}$eine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Die Elemente ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ sind algebraisch unabhängig.
2. DerEinsetzungshomomorphismus

   ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A,\,X_{i}\longmapsto f_{i},}$

   istinjektiv.

3. DerEinsetzungshomomorphismus

   ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R[f_{1},\ldots ,f_{n}],\,X_{i}\longmapsto f_{i},}$

   istbijektiv.

Es seien${\displaystyle {}K\subseteq L}$und${\displaystyle {}L\subseteq M}$Körpererweiterungen.Es sei${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{r}\in L}$einealgebraisch unabhängigüber ${\displaystyle {}K}$ und${\displaystyle {}g_{1},\ldots ,g_{s}\in M}$algebraisch unabhängig über ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass die Familie

${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s}\in M\,}$

algebraisch unabhängig über ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ derPolynomringüber einemKörper${\displaystyle {}K}$ und seien ${\displaystyle {}n+1}$ Polynome ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n+1}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ gegeben. Zeige, dass diesealgebraisch abhängigsind.

Es seien ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ Elemente eines Körpers${\displaystyle {}K}$ und seien ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n-1}}$ algebraisch unabhängig.Zeige, dass die Familie ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn ${\displaystyle {}f_{n}}$ transzendentüber ${\displaystyle {}K(f_{1},\ldots ,f_{n-1})}$ ist.

Zeige, dass die Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X)\subseteq {\mathbb {C} }(X)[Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,}$

rein transzendentist.

Besitzt die Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} }$eine endlicheTranszendenzbasis?

Es sei${\displaystyle {}z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {R} }$eine Familie von reellen Zahlen.Zeige, dass es daraus einealgebraisch unabhängigeTeilfamilie gibt.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterung.Zeige, dass eine echte Unterfamilie einer Transzendenzbasisvon ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$ keine Transzendenzbasis ist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterungund${\displaystyle {}L\subseteq M}$einealgebraische Körpererweiterung.Es sei ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in L}$ eineTranszendenzbasisvon ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von ${\displaystyle {}M}$ über ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperderCharakteristik${\displaystyle {}0}$ und${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$Polynome, die für denKörper der rationalen Funktionen${\displaystyle {}K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ eineTranszendenzbasisüber ${\displaystyle {}K}$ bilden. Es sei ${\displaystyle {}f_{n}}$ einPrimpolynom.Zeige, dass die Restklassen der ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n-1}}$ im Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{n}))}$ eine Transzendenzbasis bilden.

Bestimme den Transzendenzgraddes von den beiden trigonometrischen FunktionenSinus und Kosinus über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ erzeugten Körpers.

Diskutiere Gemeinsamkeiten zwischen dem Konzept lineare Unabhängigkeit(Basis,Dimension)und dem Konzept algebraische Unabhängigkeit(Transzendenzbasis,Transzendenzgrad).

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperund${\displaystyle {}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$derrationale Funktionenkörperin ${\displaystyle {}n}$ Variablen. Es sei${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$eine endliche Untergruppe der Galoisgruppe.Zeige, dass der TranszendenzgraddesFixkörpers${\displaystyle {}L^{G}}$ über ${\displaystyle {}K}$ gleich ${\displaystyle {}n}$ ist.

Wir betrachten den Funktionenkörper in zwei Variablen ${\displaystyle {}L=K(X,Y)}$über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ derCharakteristik${\displaystyle {}0}$. Die Gruppe ${\displaystyle {}K^{\times }}$ ist eine Untergruppe derGaloisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$, indem man${\displaystyle {}s\neq 0}$als den durch ${\displaystyle {}X\mapsto sX,\,Y\mapsto sY}$ festgelegten Automorphismus auffasst. Bestimme den Fixkörper${\displaystyle {}K(X,Y)^{K^{\times }}}$ sowie dessenTranszendenzgradüber ${\displaystyle {}K}$.

Wir betrachten den Funktionenkörper${\displaystyle {}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Wie betrachten auf der Menge ${\displaystyle {}{\mathcal {Z}}}$ aller Zwischenkörper die Relation, die durch

${\displaystyle {}M_{1}\sim M_{2}\,,}$

falls es einen Zwischenkörper ${\displaystyle {}M}$ derart gibt, dass${\displaystyle {}M_{1}\subseteq M}$ und${\displaystyle {}M_{2}\subseteq M}$ endliche Körpererweiterungensind, gegeben ist. Zeige, dass es sich dabei um eineÄquivalenzrelationhandelt.

Zeige, dass die rationalen Funktionen(in den zwei Variablen${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V}$)

${\displaystyle {}P={\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\,,}$

${\displaystyle {}Q={\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\,}$

und

${\displaystyle {}R={\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\,}$

die Relation

${\displaystyle {}P^{2}+Q^{3}+R^{5}=0\,}$

erfüllen.

Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper${\displaystyle {}L,M\subseteq K(X,Y)}$,die den gleichen Transzendenzgradhaben, die aber nicht zueinanderäquivalentim Sinne vonAufgabe 28.23sind.

Das Polynom${\displaystyle {}Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]}$ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}=:L\,}$

vom Grad ${\displaystyle {}3}$. Es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei${\displaystyle {}G=\{1,\zeta ,\zeta ^{2}\}}$die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto \zeta Z}$

   ein ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X,Y)}$-Automorphismus auf ${\displaystyle {}L}$ gegeben ist.

2. Zeige, dass${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L}$eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L}$eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z}$

   ein ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Automorphismus auf ${\displaystyle {}L}$ der Ordnung ${\displaystyle {}3}$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.

Es sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X)}$ die Gruppe der${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Körperautomorphismen,die durch ${\displaystyle {}X\mapsto \zeta _{n}X}$ erzeugt wird, wobei ${\displaystyle {}\zeta _{n}}$ eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme denFixkörper${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X)^{\mathbb {Z} /(n)}}$.

Zeige, dass die Familie ${\displaystyle {}X+Y+Z,XY+XZ+YZ,XYZ}$ im Polynomring ${\displaystyle {}K[X,Y,Z]}$ über einem Körper${\displaystyle {}K}$ algebraisch unabhängigist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperund${\displaystyle {}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$derrationale Funktionenkörperin ${\displaystyle {}n}$ Variablen. Wir knüpfen anBeispiel 10.12an.

1. Zeige, dass es einen natürlicheninjektivenGruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$

2. Zeige, dass dieser nichtsurjektivist.
3. Es sei nun zusätzlich vorausgesetzt, dass der Körper ${\displaystyle {}K}$ dieCharakteristik${\displaystyle {}0}$ habe. Zeige für den Fixkörperdie Gleichheit

   ${\displaystyle {}L^{\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}=K\,.}$

Es sei${\displaystyle {}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$derrationale Funktionenkörperüber einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Wie betrachten auf der Menge ${\displaystyle {}{\mathcal {Z}}}$ aller Zwischenkörper die ÄquivalenzrelationausAufgabe 28.23.Zeige, dass derTranszendenzgradauf den Äquivalenzklassenwohldefiniert ist.

Es sei${\displaystyle {}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$derrationale Funktionenkörperüber einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Es seien Zwischenkörper

${\displaystyle {}K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L\,}$

mit der Eigenschaft gegeben, dass dieKörpererweiterungen

${\displaystyle {}M_{1}\cap M_{2}\subseteq M_{1},M_{2}\,}$

endlichseien. Zeige, dass es dann auch einen Zwischenkörper ${\displaystyle {}N}$ derart gibt, dass${\displaystyle {}M_{1},M_{2}\subseteq N}$endlich sind.