Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 28
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Berechne in
Aufgabe
Es seieinealgebraische Körpererweiterung.Zeige, dass dann auch die Körpererweiterung
derrationalen Funktionenkörperalgebraisch ist.
Aufgabe *
Es sei ein Körper.Zeige, dass in einerKörpererweiterungder Form
algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinemalgebraischen Abschlussin übereinstimmt.
Aufgabe
Zeige
Aufgabe
Zeige, dass eine Unterfamilie eineralgebraisch unabhängigenFamilie wieder algebraisch unabhängig ist.
Aufgabe
Es seien positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängigist.
Aufgabe
Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängigist.
Aufgabe
Es seien und kommutative-Algebrenüber einemkommutativen Ring und seieinsurjektiver-Algebrahomomorphismus.Es seienElemente derart, dass algebraisch unabhängigüber sind. Zeige, dass die algebraisch unabhängig sind.
Aufgabe
Es sei einekommutative-Algebraüber einemkommutativen Ring und seieneine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- Die Elemente sind algebraisch unabhängig.
- DerEinsetzungshomomorphismus
istinjektiv.
- DerEinsetzungshomomorphismus
istbijektiv.
Aufgabe *
Es seienundKörpererweiterungen.Es seieinealgebraisch unabhängigüber undalgebraisch unabhängig über . Zeige, dass die Familie
algebraisch unabhängig über ist.
Aufgabe
Es sei derPolynomringüber einemKörper und seien Polynome gegeben. Zeige, dass diesealgebraisch abhängigsind.
Aufgabe
Es seien Elemente eines Körpers und seien algebraisch unabhängig.Zeige, dass die Familie genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn transzendentüber ist.
Aufgabe
Aufgabe
Besitzt die Körpererweiterungeine endlicheTranszendenzbasis?
Aufgabe
Es seieine Familie von reellen Zahlen.Zeige, dass es daraus einealgebraisch unabhängigeTeilfamilie gibt.
Es ist übrigens unbekannt, ob die beiden transzendenten Zahlen und algebraisch unabhängig über sind.
Aufgabe
Es seieineKörpererweiterung.Zeige, dass eine echte Unterfamilie einer Transzendenzbasisvon über keine Transzendenzbasis ist.
Aufgabe
Es seieineKörpererweiterungundeinealgebraische Körpererweiterung.Es sei eineTranszendenzbasisvon über . Zeige, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von über ist.
Aufgabe
Es sei einKörperderCharakteristik undPolynome, die für denKörper der rationalen Funktionen eineTranszendenzbasisüber bilden. Es sei einPrimpolynom.Zeige, dass die Restklassen der im Quotientenkörper eine Transzendenzbasis bilden.
Aufgabe
Bestimme den Transzendenzgraddes von den beiden trigonometrischen FunktionenSinus und Kosinus über erzeugten Körpers.
Aufgabe
Diskutiere Gemeinsamkeiten zwischen dem Konzept lineare Unabhängigkeit(Basis,Dimension)und dem Konzept algebraische Unabhängigkeit(Transzendenzbasis,Transzendenzgrad).
Aufgabe
Es sei einKörperundderrationale Funktionenkörperin Variablen. Es seieine endliche Untergruppe der Galoisgruppe.Zeige, dass der TranszendenzgraddesFixkörpers über gleich ist.
Aufgabe
Wir betrachten den Funktionenkörper in zwei Variablen über einem Körper derCharakteristik. Die Gruppe ist eine Untergruppe derGaloisgruppe, indem manals den durch festgelegten Automorphismus auffasst. Bestimme den Fixkörper sowie dessenTranszendenzgradüber .
Aufgabe
Wir betrachten den Funktionenkörperüber einem Körper . Wie betrachten auf der Menge aller Zwischenkörper die Relation, die durch
falls es einen Zwischenkörper derart gibt, dass und endliche Körpererweiterungensind, gegeben ist. Zeige, dass es sich dabei um eineÄquivalenzrelationhandelt.
Aufgabe *
Zeige, dass die rationalen Funktionen(in den zwei Variablen und )
und
die Relation
erfüllen.
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper,die den gleichen Transzendenzgradhaben, die aber nicht zueinanderäquivalentim Sinne vonAufgabe 28.23sind.
Aufgabe *
Das Polynomist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung
vom Grad . Es sei eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es seidie Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.
- Zeige, dass durch
ein -Automorphismus auf gegeben ist.
- Zeige, dasseine Galoiserweiterung ist.
- Zeige, dasseine graduierte Körpererweiterung ist.
- Zeige, dass durch
ein -Automorphismus auf der Ordnung gegeben ist.
- Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei.Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper die Gruppe der-Körperautomorphismen,die durch erzeugt wird, wobei eine primitive -te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme denFixkörper.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängigist.
Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)
Es sei einKörperundderrationale Funktionenkörperin Variablen. Wir knüpfen anBeispiel 10.12an.
- Zeige, dass es einen natürlicheninjektivenGruppenhomomorphismus
- Zeige, dass dieser nichtsurjektivist.
- Es sei nun zusätzlich vorausgesetzt, dass der Körper dieCharakteristik habe. Zeige für den Fixkörperdie Gleichheit
Aufgabe (1 Punkt)
Es seiderrationale Funktionenkörperüber einem Körper . Wie betrachten auf der Menge aller Zwischenkörper die ÄquivalenzrelationausAufgabe 28.23.Zeige, dass derTranszendenzgradauf den Äquivalenzklassenwohldefiniert ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es seiderrationale Funktionenkörperüber einem Körper . Es seien Zwischenkörper
mit der Eigenschaft gegeben, dass dieKörpererweiterungen
endlichseien. Zeige, dass es dann auch einen Zwischenkörper derart gibt, dassendlich sind.
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