Bestimme für jedes,für welche der durch
festgelegte Automorphismus desKreisteilungskörpers ein Erzeuger der Galoisgruppeist.
Es sei der -te Kreisteilungskörperüber . Zeige, dass derjenige Automophismus von , der der Einheit entspricht, die Einschränkung der komplexen Konjugationist.
Es sei eine durch teilbare Zahl, die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln und der -teKreisteilungskörper.
Es sei.Bestimme den(alle?)Körperautomorphismus,der auf abbildet. Wohin wird abgebildet?
Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper mit der -Basis, wobeiist.
Bestimme die Zwischenkörper des -tenKreisteilungskörpers. Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.
Bestimme für , wie viele Unterkörper der -teKreisteilungskörper besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.
Es seieinKreisteilungskörperundein Zwischenkörper. Zeige, dasseineabelsche Körpererweiterungist, also eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe abelsch ist.
Ein schwieriger Satz, der Satz von Kronecker-Weber, besagt umgekehrt, dass man jede abelsche Körpererweiterung von als Unterkörper eines Kreisteilungskörpers realisieren kann.
Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppeeiner geeignetenKörpererweiterung.
Zeige, dass dasKompositum zu zwei Körpererweiterungen und vom gewählten Oberkörper abhängen kann.
Es seien und zwei Körpererweiterungen vom Grad bzw. .Es sei das in einem Oberkörper gebildete Kompositum.Zeige, dass die Abschätzunggilt.
Es sei einKörper und es seien und zwei endlicheeinfache Körpererweiterungen von .
a) Zeige, dass die-Algebra kein Körper sein muss.
b) Es sei das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum.Zeige, dass es einen surjektiven-Algebrahomomorphismusvon nach gibt.
Es sei eine Primzahl und sei der Körper mit und der Körper mit Elementen. Zeige, dass das Kompositum(unabhängig vom gewählten Oberkörper)von und gleich mit und ist.
Es sei eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe und es seien Untergruppenmit den zugehörigen Fixkörpern und .Zeige, dass dasKompositum gleich dem Fixkörper von ist.
Eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass für je zwei ElementeeinInfimum und einSupremum existiert, heißtVerband.
In den beiden folgenden Aufgaben geht es insbesondere auch darum, jeweils die Verknüpfungen und zu definieren.
Zeige, dass die Menge der Untergruppeneiner Gruppe mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der erzeugten Untergruppeeinen Verbandbildet.
Es seieineendliche Körpererweiterung.Zeige, dass die Menge der Zwischenkörpermit der Inklusion einen Verbandbildet.
Es seieineGaloiserweiterung.Es sei der Verbandder Zwischenkörperder Erweiterung und sei der Verband der Untergruppen derGaloisgruppe. Zeige, dass durch die Galoiskorrespondenzeine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden und gegeben ist.
Es sei der -teKreisteilungskörper, . Zeige, dass es einen Zwischenkörper, ,gibt, der einequadratische Körpererweiterungvon ist.
Es seien und zweiKreisteilungskörper über . Zeige, dass dasKompositum(unabhängig vom gewählten Oberkörper)von und gleich ist, wobeiist.
Es seien und teilerfremdenatürliche Zahlen. Zeige, dass das -teKreisteilungspolynom über dem -tenKreisteilungskörper irreduzibel ist.
Es sei einKörper derCharakteristik und sei die Adjunktion einer -ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe vonSatz 20.7und der Theorie der Kreisteilungskörper(über ), dass eineGaloiserweiterung ist, deren Galoisgruppeabelsch ist.
Es sei einKörper und es seien und zwei endlicheeinfache Körpererweiterungenvon , derenGradeteilerfremd seien. Zeige, dass die-Algebra ein Körper ist.
Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige.
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