Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 19

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${\displaystyle {}X^{6}-1}$ über den Körpern${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)}$und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$.

Berechne die Werte dereulerschen Funktion${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ für ${\displaystyle {}n\leq 20}$.

Zeige, dass dieeulersche Funktion${\displaystyle {}\varphi }$ für natürliche Zahlen ${\displaystyle {}n,m}$ die Eigenschaft

${\displaystyle {}{\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,}$

erfüllt.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${\displaystyle {}n=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.}$

Zeige, dass dann

${\displaystyle {}{\varphi (n)}={\varphi (p_{1}^{r_{1}})}{\cdots }{\varphi (p_{k}^{r_{k}})}=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}{\cdots }(p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}a\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass dieeulersche Funktion${\displaystyle {}\varphi }$ die Gleichheit

${\displaystyle {}{\varphi (a^{n})}=a^{n-1}{\varphi (a)}\,}$

für${\displaystyle {}n\geq 1}$erfüllt.

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion,das ist die Aussage, dass

${\displaystyle {}{\varphi (n)}=n\cdot \prod _{p{|}n,\ p{\text{ prim}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ dieEulersche Funktion. Zeige die Abschätzung

${\displaystyle {}{\varphi (n)}\geq {\frac {\sqrt {n}}{2}}\,.}$

Bestimme für${\displaystyle {}n=1,2,\ldots ,10}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln ${\displaystyle {}\zeta _{n}^{k}}$, mit ${\displaystyle {}\zeta _{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}}$.

Schreibe den ${\displaystyle {}5}$-tenKreisteilungskörper${\displaystyle {}K_{5}}$ als quadratische Körpererweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}$.

Es sei ${\displaystyle {}L}$ der neunteKreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Zeige

${\displaystyle {}L\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und

${\displaystyle {}L_{n}=K_{n}\cap \mathbb {R} \,.}$

Zeige, dass bei${\displaystyle {}n\geq 3}$die Körpererweiterung${\displaystyle {}L_{n}\subseteq K_{n}}$denGrad${\displaystyle {}2}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ungerade. Zeige, dass der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper mit dem ${\displaystyle {}2n}$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Bestimme dieKreisteilungspolynome${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ für${\displaystyle {}n\leq 15}$.

Bestimme für ${\displaystyle {}n\leq 12}$, welche der ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln in ${\displaystyle {}K_{n}}$ zueinander konjugiert sind.

Zeige, dass für${\displaystyle {}n\geq 2}$der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ immer ${\displaystyle {}1}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}}$(in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$)der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper und sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente${\displaystyle {}\zeta ^{i}}$, ${\displaystyle {}i\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$.

a) Zeige, dass für eine Primzahl ${\displaystyle {}n=p}$ diese Elemente eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$ bilden.

b) Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}n=p^{2}}$. Zeige, dass diese Elemente keine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$ bilden.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}}$der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörperund sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.

1. Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}k}$ die(benachbarten)Einheitswurzeln

   ${\displaystyle \zeta ^{k},\zeta ^{k+1},\ldots ,\zeta ^{k+{\varphi (n)}-1}}$

   eine${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basisvon ${\displaystyle {}K_{n}}$.

2. Bilden die primitiven ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln stets eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$?

Bestimme dieNormund dieSpurder ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln im ${\displaystyle {}n}$-ten Kreisteilungskörper.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper über ${\displaystyle {}K}$ ist derZerfällungskörper des Polynoms

${\displaystyle X^{n}-1}$

${\displaystyle {}K}$

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und${\displaystyle {}q=p^{e}}$, ${\displaystyle {}e\geq 1}$,eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der ${\displaystyle {}(q-1)}$-teKreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}}$ gleich ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ ist.

Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ und für ${\displaystyle {}n=1,\ldots ,12}$ angibt, welcher endliche Körper ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{e}}}$ der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper über ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ das ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungspolynomund es sei ${\displaystyle {}p}$ eine zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremdePrimzahl.Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperder Charakteristik ${\displaystyle {}p}$, in dem es eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ gebe. Zeige, dass das Produkt

${\displaystyle \prod _{0<i<n,\,\,i,n\,{\rm {teilerfremd}}}(X-\zeta ^{i})}$

zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$ gehört und mit ${\displaystyle {}\Phi _{n}\!\!\!\mod p}$ übereinstimmt.

Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen ${\displaystyle {}p\leq 13}$ zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$ aussieht.

Es sei ${\displaystyle {}{\varphi (n)}}$ dieEulersche Funktion.Zeige, dass die Folge${\displaystyle {}{\frac {\varphi (n)}{n}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,sowohl in${\displaystyle {}1}$ als auch in ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$einen Häufungspunktbesitzt.

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom ${\displaystyle {}X^{4}+1}$ über allen endlichen Primkörpern ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{p}}$ reduzibel ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl, die wir als ${\displaystyle {}n=kp^{a}}$ schreiben mit${\displaystyle {}k}$ und ${\displaystyle {}p}$teilerfremd.Zeige, dass der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper über ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}}$ gleich ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ ist(mit ${\displaystyle q=p^{e}}$), wobei ${\displaystyle {}q}$ die minimale echte Potenz von ${\displaystyle {}p}$ mit der Eigenschaft ist, dass ${\displaystyle {}q-1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}k}$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches ${\displaystyle {}q}$ gibt.

Bestimme dieKreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.

Wir betrachten die Tabelle, die für kleine${\displaystyle {}p}$ und ${\displaystyle {}n}$die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt.

Begründe die folgenden(mehr oder weniger sichtbaren)Eigenschaften der Tabelle.

a) Für jedes ${\displaystyle {}n}$ sind die Einträge in der ${\displaystyle {}n}$-ten Spalte ${\displaystyle {}\leq \varphi (n)}$.

b) Für jedes ${\displaystyle {}p}$ kommt in der ${\displaystyle {}p}$-ten Zeile die ${\displaystyle {}1}$ unendlich oft vor.

Es sei ${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ das ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungspolynomund es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}(\Phi _{n}\!\!\!\mod p)\in \mathbb {Z} /(p)[X]}$ das Produkt von irreduziblen Polynomenist, die alle den gleichen Gradbesitzen.