Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 19

Es sei ${\displaystyle {}K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Wegen${\displaystyle {}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{n}=1}$ist ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]\subseteq K_{n}}$. Wegen${\displaystyle {}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\right)}^{k}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}}$gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]}$, also ist${\displaystyle {}\mathbb {Q} [e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}]=K_{n}}$.

Der ${\displaystyle {}p}$-teKreisteilungskörperwird nachLemma 19.2von ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}}$ erzeugt, er ist also isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(P)}$, wobei ${\displaystyle {}P}$ dasMinimalpolynomvon ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}X^{p}-1}$ und wegen${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}\neq 1}$ist ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1}$. Das Polynom ${\displaystyle {}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1}$ ist irreduzibel nachAufgabe 18.19und daher handelt es sich nachLemma 7.12  (2)um das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}}$.

Jede der ${\displaystyle {}n}$ verschiedenen ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung${\displaystyle {}d}$, die ein Teiler von ${\displaystyle {}n}$ ist. Eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel der Ordnung ${\displaystyle {}d}$ ist eine primitive${\displaystyle {}d}$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{n}-1&=\prod _{z{\text{ ist }}n{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\\&=\prod _{d{|}n}{\left(\prod _{z{\text{ ist primitive }}d{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\right)}\\&=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}.\end{aligned}}}$

Induktion über ${\displaystyle {}n}$. Für${\displaystyle {}n=1}$ist${\displaystyle {}\Phi _{1}=X-1\in \mathbb {Z} [X]}$. Für beliebiges ${\displaystyle {}n}$ betrachten wir die inLemma 19.9bewiesene Darstellung

${\displaystyle {}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}={\left(\prod _{d{|}n,\,d\neq n}\Phi _{d}\right)}\cdot \Phi _{n}\,.}$

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$. Daraus folgt mitAufgabe 18.11,dass auch ${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ Koeffizienten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ besitzt.

 Nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ nicht irreduzibel über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist. Dann gibt es nachLemma 18.7eine Zerlegung${\displaystyle {}\Phi _{n}=FG}$mit normierten Polynomen ${\displaystyle {}F,G\in \mathbb {Z} [X]}$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eineprimitive${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome${\displaystyle {}\Phi _{n}(\zeta )=0}$und daher ist(ohne Einschränkung)${\displaystyle {}F(\zeta )=0}$.Wir können annehmen, dass ${\displaystyle {}F}$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}\zeta }$ ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$ ist. Dann folgt aus Gradgründen${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(F)={\varphi (n)}=\operatorname {grad} \,(\Phi _{n})}$im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als ${\displaystyle {}\zeta ^{k}}$ mit einer zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremden Zahl ${\displaystyle {}k}$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall ${\displaystyle {}\zeta ^{p}}$ mit einer zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremden Primzahl ${\displaystyle {}p}$ zu betrachten, da sich jedes ${\displaystyle {}\zeta ^{k}}$ sukzessive als ${\displaystyle {}p}$-Potenz von ${\displaystyle {}\zeta }$ erhalten lässt(wobei man ${\displaystyle {}\zeta }$ sukzessive durch ${\displaystyle {}\zeta ^{p}}$ ersetzt und${\displaystyle {}F{\left(\zeta ^{p}\right)}=0}$verwendet).  Nehmen wir also an, dass${\displaystyle {}F{\left(\zeta ^{p}\right)}\neq 0}$ist. Dann muss${\displaystyle {}G{\left(\zeta ^{p}\right)}=0}$sein. Daher ist ${\displaystyle {}\zeta }$ eine Nullstelle des Polynoms ${\displaystyle {}G(X^{p})}$ und daher gilt${\displaystyle {}FH=G{\left(X^{p}\right)}}$mit ${\displaystyle {}H\in \mathbb {Q} [X]}$, da ja ${\displaystyle {}F}$ das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}\zeta }$ ist. WegenAufgabe 18.11gehören die Koeffizienten von ${\displaystyle {}H}$ zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$. Wir betrachten nun die Polynome ${\displaystyle {}\Phi _{n},F,G,H}$ modulo ${\displaystyle {}p}$, also als Polynome in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$, wobei wir dafür ${\displaystyle {}{\overline {\Phi _{n}}},{\overline {F}}}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ und wegendes kleinen Fermat'schen Satzesgilt

${\displaystyle {}{\overline {G}}(X^{p})={\left({\overline {G}}(X)\right)}^{p}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\overline {F}}{\overline {H}}={\overline {G}}(X^{p})=({\overline {G}}(X))^{p}\,.}$

Es sei nun${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subseteq L}$der Zerfällungskörper von ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$, so dass über ${\displaystyle {}L}$ insbesondere auch ${\displaystyle {}{\overline {\Phi _{n}}}}$ und damit auch ${\displaystyle {}{\overline {F}}}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei ${\displaystyle {}u\in L}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}{\overline {F}}}$. Dann ist ${\displaystyle {}u}$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von ${\displaystyle {}{\overline {G}}}$. Wegen${\displaystyle {}{\overline {\Phi _{n}}}={\overline {F}}{\overline {G}}}$ist dann ${\displaystyle {}u}$ eine mehrfache Nullstelle von ${\displaystyle {}{\overline {\Phi _{n}}}}$. Damit besitzt auch ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ eine mehrfache Nullstelle in ${\displaystyle {}L}$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber${\displaystyle {}(X^{n}-1)'=(n\mod p)X^{n-1}}$und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht ${\displaystyle {}0}$. Also erzeugt das Polynom ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ und seine Ableitung das Einheitsideal, so dass es nachAufgabe 11.29keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.

Es ist${\displaystyle {}K_{n}=\mathbb {Q} [\zeta ]}$,wobei ${\displaystyle {}\zeta }$ eineprimitive${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist${\displaystyle {}\Phi _{n}(\zeta )=0}$und nachSatz 19.11ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, so dass es sich um dasMinimalpolynomvon ${\displaystyle {}\zeta }$ handeln muss. Also ist nachSatz 7.11${\displaystyle {}K_{n}\cong \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})}$.