Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 18

(1). Dies ist eine Neuformulierung vonSatz 14.11.
(2). NachSatz Anhang 8.3sind sämtliche Automorphismen${\displaystyle {}\varphi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$diagonalisierbar.Da die Galoisgruppeabelschist, folgtaus Satz Anhang 8.4.die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$(${\displaystyle {}n={\#\left(G\right)}}$).Das heißt, dass man${\displaystyle {}L=\bigoplus _{i=1}^{n}L_{i}}$mit eindimensionalen${\displaystyle {}K}$-Untervektorräumen${\displaystyle {}L_{i}}$ schreiben kann, die unter jedem ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ auf sich abgebildet werden. Zu jedem ${\displaystyle {}L_{i}}$ und jedem ${\displaystyle {}\varphi }$ ist dabei${\displaystyle {}\varphi (x)=\zeta _{i,\varphi }\cdot x}$für jedes ${\displaystyle {}x\in L_{i}}$, das Element ${\displaystyle {}\zeta _{i,\varphi }}$ beschreibt also den Eigenwertvon ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}L_{i}}$. Die Zuordnung

${\displaystyle \delta _{i}\colon G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \zeta _{i,\varphi },}$

ist dabei einCharakter.Es ist${\displaystyle {}L_{i}\subseteq L_{\delta _{i}}}$,da ja ${\displaystyle {}L_{i}}$ die zu ${\displaystyle {}\delta _{i}}$ gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen

${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}={\#\left(D\right)}\,}$

ist${\displaystyle {}L_{i}=L_{\delta _{i}}}$und jeder Charakter ${\displaystyle {}\delta }$ tritt als ein ${\displaystyle {}\delta _{i}}$ auf. Also ist${\displaystyle {}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }}$.Die Stufe zum konstanten Charakter ist ${\displaystyle {}K}$. Für${\displaystyle {}x_{1}\in L_{\delta _{1}}}$ und ${\displaystyle {}x_{2}\in L_{\delta _{2}}}$und ${\displaystyle {}\varphi \in G}$ ist

${\displaystyle {}\varphi (x_{1}x_{2})=\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})=\delta _{1}(\varphi )x_{1}\delta _{2}(\varphi )x_{2}=\delta _{1}(\varphi )\delta _{2}(\varphi )x_{1}x_{2}={\left(\delta _{1}\cdot \delta _{2}\right)}(\varphi )x_{1}x_{2}\,,}$

also${\displaystyle {}x_{1}x_{2}\in L_{\delta _{1}\cdot \delta _{2}}}$,so dass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.

Die Charaktergruppe${\displaystyle {}D=\operatorname {Char} \,(G,K)}$besitzt wegen der Voraussetzung über die Einheitswurzeln nachLemma 14.10den gleichenExponentenwie ${\displaystyle {}G}$. Für ein homogenes Element ${\displaystyle {}x\in L_{d}}$ gilt also insbesondere${\displaystyle {}x^{m}\in L_{dm}=L_{0}=K}$,^[4]so dass die linke Menge eine Teilmenge der rechten ist. Die Multiplikation ist links und rechts gleich, so dass eineUntergruppevorliegt. Zum Nachweis derSurjektivitätsei${\displaystyle {}a\in L^{\times }}$ mit ${\displaystyle {}a^{m}\in K}$vorgegeben. Wir zeigen, dass ein solches Element einenCharakterder Galoisgruppe definiert. Zu ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ ist

${\displaystyle {}{\left({\frac {\varphi (a)}{a}}\right)}^{m}={\frac {(\varphi (a))^{m}}{a^{m}}}={\frac {\varphi (a^{m})}{a^{m}}}={\frac {a^{m}}{a^{m}}}=1\,.}$

Der Bruch${\displaystyle {}\delta _{a}(\varphi )={\frac {\varphi (a)}{a}}}$ist also eine ${\displaystyle {}m}$-teEinheitswurzelund gehört somit zu ${\displaystyle {}K^{\times }}$. Für zwei Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ ist dabei

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {(\varphi \circ \psi )(a)}{a}}&={\frac {\varphi (\psi (a))}{a}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\varphi (\psi (a))}{\varphi (a)}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot \varphi {\left({\frac {\psi (a)}{a}}\right)}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\psi (a)}{a}},\end{aligned}}}$

so dass

${\displaystyle \delta _{a}\colon \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto {\frac {\varphi (a)}{a}},}$

ein Charakter ist. Wegen${\displaystyle {}\varphi (a)={\frac {\varphi (a)}{a}}a=\delta _{a}(\varphi )a}$ist ${\displaystyle {}a\in L_{\delta _{a}}}$, also homogen.

Dies folgt direkt aus Satz 18.2und ausLemma 12.10  (5).

AusSatz 18.2undLemma 12.10  (3)folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt.
Zum Beweis der Umkehrung sei${\displaystyle {}L=K{\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}}$mit${\displaystyle {}x_{i}^{m}=a_{i}\in K}$.Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung galoisschmit abelscher Galoisgruppeist. Es sei ${\displaystyle {}\zeta \in K}$ eineprimitive${\displaystyle {}m}$-teEinheitswurzel.Die Produkte ${\displaystyle {}\zeta ^{\ell }x_{i}}$ erfüllen ebenfalls${\displaystyle {}{\left(\zeta ^{\ell }x_{i}\right)}^{m}=a_{i}}$.Da man die ${\displaystyle {}x_{i}}$ als von ${\displaystyle {}0}$ verschieden annehmen kann, und ${\displaystyle {}\zeta }$ primitiv ist, sind diese Produkte für jedes ${\displaystyle {}i}$ untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome ${\displaystyle {}X^{m}-a_{1},\ldots ,X^{m}-a_{r}}$ über ${\displaystyle {}L}$ in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist ${\displaystyle {}L}$ der Zerfällungskörperdieserseparablen Polynome,so dass nachSatz 16.6eineGaloiserweiterungvorliegt. Sei${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$dieGaloisgruppedieser Erweiterung. Für jedes ${\displaystyle {}\varphi \in G}$ und jedes ${\displaystyle {}i}$ ist ${\displaystyle {}\varphi (x_{i})}$ ebenfalls eine Lösung der Gleichung${\displaystyle {}X^{m}=a_{i}}$und daher ist${\displaystyle {}\varphi (x_{i})=\zeta ^{\ell }x_{i}}$ mit einem gewissen(von ${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}i}$ abhängigen)${\displaystyle {}\ell }$. Für zwei Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi _{1},\varphi _{2}\in G}$ ist daher

${\displaystyle {}(\varphi _{1}\circ \varphi _{2})(x_{i})=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x_{i}))=\varphi _{1}(\zeta ^{\ell _{2}}x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\varphi _{1}(x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\zeta ^{\ell _{1}}x_{i}=\zeta ^{\ell _{2}+\ell _{1}}x_{i}\,.}$

Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist${\displaystyle {}\varphi _{1}\circ \varphi _{2}=\varphi _{2}\circ \varphi _{1}}$.Damit ist die Galoisgruppe abelsch.
Für jedes ${\displaystyle {}x_{i}}$ ist ferner

${\displaystyle {}\varphi ^{m}(x_{i})={\left(\zeta ^{\ell }\right)}^{m}x_{i}=x_{i}\,}$

mit einem gewissen ${\displaystyle {}\ell }$. Also ist${\displaystyle {}\varphi ^{m}=\operatorname {Id} }$,so dass ${\displaystyle {}m}$ ein Vielfaches desExponentenist.

 Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung${\displaystyle {}f=gh}$ mit nicht-konstanten Polynomen ${\displaystyle {}g,h\in \mathbb {Q} [X]}$. Sowohl in${\displaystyle {}g}$ als auch in ${\displaystyle {}h}$kommen nur endlich viele Nenner aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ vor, so dass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${\displaystyle {}r\in \mathbb {Z} }$multiplizieren kann und somit eine Darstellung${\displaystyle {}rf={\tilde {g}}{\tilde {h}}}$ mit ${\displaystyle {}{\tilde {g}},{\tilde {h}}\in \mathbb {Z} [X]}$erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei${\displaystyle {}r=p_{1}{\cdots }p_{n}}$die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}r}$. NachAufgabe 3.19 ist ${\displaystyle {}p_{1}}$ auch im Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ prim. Da es das Produkt ${\displaystyle {}{\tilde {g}}{\tilde {h}}}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir ${\displaystyle {}{\tilde {h}}}$. Dann kann man mit ${\displaystyle {}p_{1}}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}r'f={\tilde {g}}{\tilde {h}}'\,.}$

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

${\displaystyle {}f=g'h'\,}$

mit nicht konstanten Polynomen${\displaystyle {}h',g'\in \mathbb {Z} [X]}$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

 Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung${\displaystyle {}F=GH}$mit nicht-konstanten Polynomen${\displaystyle {}G,H\in R[X]}$ gebe, und sei${\displaystyle {}G=\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}}$ und ${\displaystyle {}H=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}}$. Dann ist${\displaystyle {}c_{0}=a_{0}b_{0}}$und dies ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$, aber nicht von ${\displaystyle {}p^{2}}$. Da ${\displaystyle {}p}$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir ${\displaystyle {}a_{0}}$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von ${\displaystyle {}G}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$, da sonst ${\displaystyle {}G}$ und damit auch ${\displaystyle {}F}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei ${\displaystyle {}r}$ der kleinste Index derart, dass ${\displaystyle {}a_{r}}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist. Es ist${\displaystyle {}r\leq \operatorname {grad} \,(G)<\operatorname {grad} \,(F)}$,da ${\displaystyle {}H}$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{r}}$, für den

${\displaystyle {}c_{r}=a_{0}b_{r}+a_{1}b_{r-1}+\cdots +a_{r-1}b_{1}+a_{r}b_{0}\,}$

gilt. Hierbei sind ${\displaystyle {}c_{r}}$ und alle Summanden${\displaystyle {}a_{i}b_{r-i}}$, ${\displaystyle {}i=0,\ldots ,r-1}$,Vielfache von ${\displaystyle {}p}$. Daher muss auch der letzte Summand ${\displaystyle {}a_{r}b_{0}}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da${\displaystyle {}p\nmid a_{r}}$ und ${\displaystyle {}p\nmid b_{0}}$.

Dies folgt ausLemma 18.8 und Lemma 18.7.