Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 20

Bestimme für jedes${\displaystyle {}n=1,2,\ldots ,10}$,für welche ${\displaystyle {}k}$ der durch

${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{k}}$

festgelegte Automorphismus desKreisteilungskörpers${\displaystyle {}K_{n}}$ ein Erzeuger der Galoisgruppeist.

Es sei ${\displaystyle {}K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Zeige, dass derjenige Automophismus von ${\displaystyle {}K_{n}}$, der der Einheit ${\displaystyle {}-1\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$ entspricht, die Einschränkung der komplexen Konjugationist.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine durch ${\displaystyle {}4}$ teilbare Zahl, ${\displaystyle {}W_{n}}$ die Menge der ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln und ${\displaystyle {}K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper.

1. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine Permutation von ${\displaystyle {}W_{n}}$?
2. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-lineare Abbildungauf ${\displaystyle {}K_{n}}$?
3. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse einen${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Körperautomorphismusauf ${\displaystyle {}K_{n}}$?

Es sei${\displaystyle {}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/10}}$.Bestimme den(alle?)Körperautomorphismus${\displaystyle {}K_{10}\rightarrow K_{10}}$,der ${\displaystyle {}\zeta ^{3}}$ auf ${\displaystyle {}\zeta ^{7}}$ abbildet. Wohin wird ${\displaystyle {}\zeta ^{9}}$ abgebildet?

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}K_{5}}$ mit der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis${\displaystyle {}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}}$, wobei${\displaystyle {}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$ist.

1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu${\displaystyle {}\zeta ^{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,1,2,3}$,bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )}$ bezüglich dieser Basis.

Bestimme die Zwischenkörper des ${\displaystyle {}7}$-tenKreisteilungskörpers${\displaystyle {}K_{7}}$. Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.

Bestimme für ${\displaystyle {}n\leq 12}$, wie viele Unterkörper der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper ${\displaystyle {}K_{n}}$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}}$einKreisteilungskörperund${\displaystyle {}L\subseteq K_{n}}$ein Zwischenkörper. Zeige, dass${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$eineabelsche Körpererweiterungist, also eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe abelsch ist.

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppeeiner geeignetenKörpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$.

1. ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$,
2. ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$,
3. ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)}$,
4. ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(8)}$.

Zeige, dass dasKompositum ${\displaystyle {}K_{1}K_{2}}$ zu zwei Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq K_{1}}$ und ${\displaystyle {}K\subseteq K_{2}}$vom gewählten Oberkörper abhängen kann.

Es seien${\displaystyle {}K\subseteq K_{1}}$ und ${\displaystyle {}K\subseteq K_{2}}$zwei Körpererweiterungen vom Grad${\displaystyle {}d_{1}}$ bzw. ${\displaystyle {}d_{2}}$.Es sei ${\displaystyle {}K_{1}K_{2}}$ das in einem Oberkörper gebildete Kompositum.Zeige, dass die Abschätzung${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}K_{1}K_{2}\leq d_{1}d_{2}}$gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und es seien${\displaystyle {}K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)}$ und ${\displaystyle {}K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)}$zwei endlicheeinfache Körpererweiterungen von ${\displaystyle {}K}$.

a) Zeige, dass die${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}A=K[X,Y]/(F,G)}$ kein Körper sein muss.

b) Es sei ${\displaystyle {}K_{1}K_{2}}$ das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum.Zeige, dass es einen surjektiven${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismusvon ${\displaystyle {}A}$ nach ${\displaystyle {}K_{1}K_{2}}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und sei ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q_{1}}}$ der Körper mit ${\displaystyle {}q_{1}=p^{e_{1}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q_{2}}}$ der Körper mit ${\displaystyle {}q_{2}=p^{e_{2}}}$ Elementen. Zeige, dass das Kompositum(unabhängig vom gewählten Oberkörper)von${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q_{1}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q_{2}}}$ gleich ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ mit ${\displaystyle {}q=p^{e}}$ und ${\displaystyle {}e={\operatorname {KgV} \,\left(e_{1},e_{2},\right)}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$ und es seien${\displaystyle {}H_{1},H_{2}\subseteq G}$ Untergruppenmit den zugehörigen Fixkörpern${\displaystyle {}K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})}$ und ${\displaystyle {}K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})}$.Zeige, dass dasKompositum${\displaystyle {}K_{1}K_{2}}$ gleich dem Fixkörper von ${\displaystyle {}H_{1}\cap H_{2}}$ ist.

Eine geordnete Menge${\displaystyle {}(M,\leq )}$ mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente${\displaystyle {}x,y\in M}$einInfimum${\displaystyle {}x\sqcap y}$ und einSupremum${\displaystyle {}x\sqcup y}$ existiert, heißtVerband.

Zeige, dass die Menge der Untergruppeneiner Gruppe${\displaystyle {}G}$ mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der erzeugten Untergruppeeinen Verbandbildet.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung.Zeige, dass die Menge der Zwischenkörpermit der Inklusion einen Verbandbildet.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineGaloiserweiterung.Es sei ${\displaystyle {}V}$ der Verbandder Zwischenkörperder Erweiterung und sei ${\displaystyle {}W}$ der Verband der Untergruppen derGaloisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$. Zeige, dass durch die Galoiskorrespondenzeine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$gegeben ist.

Es sei ${\displaystyle {}K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper, ${\displaystyle {}n\geq 3}$. Zeige, dass es einen Zwischenkörper${\displaystyle {}L}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq K_{n}}$,gibt, der einequadratische Körpererweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}K_{n_{1}}}$ und ${\displaystyle {}K_{n_{2}}}$ zweiKreisteilungskörper über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Zeige, dass dasKompositum(unabhängig vom gewählten Oberkörper)von${\displaystyle {}K_{n_{1}}}$ und ${\displaystyle {}K_{n_{2}}}$ gleich ${\displaystyle {}K_{n}}$ ist, wobei${\displaystyle {}n={\operatorname {KgV} \,\left(n_{1},n_{2}\right)}}$ist.

Es seien${\displaystyle {}m}$ und ${\displaystyle {}n}$teilerfremdenatürliche Zahlen. Zeige, dass das ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungspolynom über dem ${\displaystyle {}m}$-tenKreisteilungskörper ${\displaystyle {}K_{m}}$ irreduzibel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper derCharakteristik ${\displaystyle {}0}$ und sei ${\displaystyle {}K\subseteq K(\zeta )}$ die Adjunktion einer ${\displaystyle {}n}$-ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe vonSatz 20.7und der Theorie der Kreisteilungskörper(über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$), dass ${\displaystyle {}K\subseteq K(\zeta )}$ eineGaloiserweiterung ist, deren Galoisgruppeabelsch ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und es seien${\displaystyle {}K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)}$ und ${\displaystyle {}K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)}$zwei endlicheeinfache Körpererweiterungenvon ${\displaystyle {}K}$, derenGradeteilerfremd seien. Zeige, dass die${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}A=K[X,Y]/(F,G)}$ ein Körper ist.

Zu${\displaystyle {}n\geq 3}$ sei ${\displaystyle {}F_{n}}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen ${\displaystyle {}n}$-Eckes. Zeige${\displaystyle {}F_{n}\leq F_{n+1}}$.