Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 18

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Automorphismus.Es sei ${\displaystyle {}\lambda }$ einEigenwert von ${\displaystyle {}\varphi }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\lambda }$ eineEinheitswurzelist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}\delta \in G^{\vee }}$ ein Charakterauf derGaloisgruppe ${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$. Man mache sich die Gleichheit

${\displaystyle L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}=\bigcap _{\varphi \in G}\operatorname {Eig} _{\delta (\varphi )}{\left(\varphi \right)}}$

klar.

Bestimme dieEigenwerteund dieEigenräumedesFrobeniushomomorphismusauf ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{125}}$.

Bestimme dieEigenwerteund dieEigenräumedesFrobeniushomomorphismusauf ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{p}}}$.

Zeige, dass dieKörpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)\subseteq {\mathbb {F} }_{2197}}$eineKummererweiterungzum Exponenten ${\displaystyle {}3}$ ist.

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen KörperautomorphismeninBeispiel 17.9bezüglich einer geeigneten Basis.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppeund${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine${\displaystyle {}D}$-graduierte Körpererweiterung. Der Körper ${\displaystyle {}K}$ enthalte eine ${\displaystyle {}m}$-teprimitive Einheitswurzel, wobei ${\displaystyle {}m}$ derExponentvon ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass es ein Element ${\displaystyle {}v\in L}$ derart gibt, dass die Menge

${\displaystyle {\left\{\varphi (v)\mid \varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right\}}}$

eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bildet.

Es sei ${\displaystyle {}D=\mathbb {Z} /(n)}$ und sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, der eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel${\displaystyle {}\zeta }$ enthält. Es sei ${\displaystyle {}L}$ eine${\displaystyle {}D}$-graduierte Körpererweiterungvon ${\displaystyle {}K}$. Beschreibe die Matrizen der${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismenauf ${\displaystyle {}L}$ (also die Elemente der Galoisgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$)bezüglich einer geeigneten ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

1. Bestimme denZerfällungskörper${\displaystyle {}L}$ zum Polynom${\displaystyle {}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]}$.
2. Was ist der Grad${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$?
3. Ist die Körpererweiterung graduierbar(mit welcher graduierenden Gruppe?).
4. Was sind die homogenen Automorphismen,welche Gruppe bilden sie?
5. Ist dieGaloisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )}$ abelsch?
6. Handelt es sich um eineKummererweiterung(zu welchem Exponenten)?

Es sei ${\displaystyle {}\zeta _{n}\in {\mathbb {C} }}$ eine ${\displaystyle {}n}$-teprimitive Einheitswurzel,und${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [\zeta _{n}]}$der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen${\displaystyle {}K\subseteq L}$gibt, deren Galoisgruppezyklischder Ordnung${\displaystyle {}n}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}F,G\in \mathbb {Z} [X]}$ normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}F=GH}$ ist mit ${\displaystyle {}H\in \mathbb {Q} [X]}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}H\in \mathbb {Z} [X]}$ ist.

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$, wo man die Irreduzibilitätnicht mit dem Eisensteinkriterium,aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.

Man wende eine Form desEisensteinkriteriumsan, um dieIrreduzibilitätder folgenden Polynome aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ nachzuweisen.

1. ${\displaystyle {}X^{4}+2X^{2}+2}$,
2. ${\displaystyle {}20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4}$,
3. ${\displaystyle {}X^{4}+9}$.

Zeige mit Hilfe des verschobenenEisensteinkriteriums,dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-3X-1}$ irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ ist.

Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+2X^{2}-5}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ irreduzibelist.

Zeige, dass ein Polynom der Form ${\displaystyle {}X^{n}-p^{2}\in \mathbb {Q} [X]}$ mit einer Primzahl${\displaystyle {}p}$ im Allgemeinen nichtirreduzibelist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl.Zeige, dass die Polynome ${\displaystyle {}X^{n}-p\in \mathbb {Q} [X]}$ für jedes${\displaystyle {}n\geq 1}$irreduzibelsind.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl.Betrachte das Polynom

${\displaystyle {}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$irreduzibelin ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ ist.

Betrachte das Polynom

${\displaystyle {}P=x^{6}-5x^{5}+11x^{4}-13x^{3}+9x^{2}-3x+1\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$irreduzibelin ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ ist.

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [x,y]}$ irreduzibelsind.

a) ${\displaystyle {}y^{4}+3x^{2}y^{2}+4x^{7}y+2x}$.

b) ${\displaystyle {}y^{6}+3xy^{4}+3x^{2}y^{2}+x^{3}}$.

Bestimme dieEigenwerteund dieEigenräumedesFrobeniushomomorphismusauf ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{343}}$.