Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 26

NachSatz 26.1ist ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ endlichdimensional,sei ${\displaystyle {}g}$ die Dimension. Es sei${\displaystyle {}P\in U}$eine offene Umgebung, die einer offenen Kreisscheibe in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ mit Koordinate ${\displaystyle {}z}$ entspreche, und sei

${\displaystyle {}V=X\setminus \{P\}\,.}$

Dann ist ${\displaystyle {}U,V}$ eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}U\cap V}$ ist eine punktierte Kreisscheibe. Jede auf ${\displaystyle {}U\cap V}$ definierte holomorphe Funktion definiert via Čech-Kohomologieeine Kohomologieklasse in ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Dies wenden wir auf die Potenzen ${\displaystyle {}z^{-1},z^{-2},z^{-3},\ldots }$ an. Wegen der Endlichdimensionalität der Kohomologiegruppe muss es in ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ eine nichttriviale lineare Abhängigkeit zwischen den Klassen ${\displaystyle {}[z^{-1}],[z^{-2}],\ldots ,[z^{-g-1}]}$ geben. D.h. es gibt eine Linearkombination

${\displaystyle {}h=\sum _{i=1}^{g+1}c_{i}z^{-i}\,,}$

wo nicht alle Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{i}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ sind, dessen Klasse die Nullklasse ist. NachLemma 22.5ist die Zuordnung${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(U,V,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$injektiv. Daher ist auch ${\displaystyle {}h}$ in der Čech-Kohomologie zur gegebenen Überdeckung trivial. Das bedeutet, dass es holomorphe Funktionen

${\displaystyle {}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}{\tilde {f}}\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,}$

gibt mit

${\displaystyle {}h=f-{\tilde {f}}\,}$

auf ${\displaystyle {}U\cap V}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\tilde {f}}=f-h\,}$

eine insgesamt meromorphe Funktion auf ${\displaystyle {}X}$, die auf ${\displaystyle {}X\setminus \{P\}}$ holomorph ist. Auf ${\displaystyle {}U}$ liegt eine nichtkonstante meromorphe Funktion mit(eventuell)einem Pol in ${\displaystyle {}P}$ vor, der nur von ${\displaystyle {}h}$ abhängt und dessen Polordnung höchstens ${\displaystyle {}g+1}$ ist.

NachSatz 26.2gibt es eine nichtkonstantemeromorphe Funktion${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}X}$. NachSatz 18.6entspricht dies einer holomorphen Abbildung von ${\displaystyle {}X}$ nach ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$, die wir ebenfalls mit ${\displaystyle {}f}$ bezeichnen. NachLemma Anhang 3.3ist die Abbildungeigentlich.Insbesondere sind die Fasern kompakt. Aus der Diskretheit der Fasern bei einer nichttrivialen holomorphen Funktion folgt, dass die Fasern endlich sind. Da das Bild nachSatz Anhang.abgeschlossen und nachSatz 3.15auch offen ist, folgt, dass die Abbildung surjektiv ist.

Auf einer offenen Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$mit der formulierten Eigenschaft kann man ${\displaystyle {}f_{i}}$ über ${\displaystyle {}f_{i}\circ \pi }$ auch als Funktionen auf ${\displaystyle {}\pi ^{-1}(U)}$ auffassen, die invariant unter der Vertauschung der Kopien oberhalb von ${\displaystyle {}U}$ sind. Die Funktionen ${\displaystyle {}E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ sind aufgefasst auf ${\displaystyle {}\pi ^{-1}(U)}$ ebenfalls invariant unter einer Vertauschung der Indizes ${\displaystyle {}i}$ und man kann sie daher unmittelbar als meromorphe Funktionen auf ${\displaystyle {}U}$ auffassen. Zu einer anderen offenen Menge mit der formulierten Eigenschaft erhält man jeweils die gleiche Funktion, da die Nummerierung der Urbilder keine Rolle spielt.

Wir betrachten die meromorphen Funktionen ${\displaystyle {}f_{i}}$ im Sinne vonLemma 26.4und das Polynom

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(T-f_{i})=T^{n}-E_{1}(f)T^{n-1}\pm \ldots \pm E_{n-1}(f_{1},\ldots ,f_{n})T\pm E_{n}(f)\,,}$

wobei die ${\displaystyle {}E_{j}(f)}$ dieelementar-symmetrischen Polynomein den ${\displaystyle {}f_{i}}$ sind, die auf ganz ${\displaystyle {}X}$ definiert sind. Diese sind meromorphe Funktionen auf ${\displaystyle {}X}$, das Polynom gehört zum Polynomring über dem Körper der meromorphen Funktionen zu ${\displaystyle {}X}$ und die Faktorzerlegung existiert über dem Körper der meromorphen Funktionen zu ${\displaystyle {}U}$ bzw. zu ${\displaystyle {}\pi ^{-1}(U)}$. Wenn man in dieses Polynom ${\displaystyle {}f}$ einsetzt, so erhält man die Nullfunktion, da man dies auf den offenen Mengen ${\displaystyle {}V_{i}}$ lokal überprüfen kann. D.h. ${\displaystyle {}f}$ erfüllt eine algebraische Gleichung vom Grad ${\displaystyle {}n}$ über dem Körper der meromorphen Funktionen von ${\displaystyle {}X}$.

Dies kann man nach der Herausnahme von diskreten Punktmengen in ${\displaystyle {}X}$ und in ${\displaystyle {}Y}$ auf die unverzweigte Situation${\displaystyle {}Y'\rightarrow X'}$ zurückführen undLemma 26.5verwenden. Man beachte, dass in dieser Situation die elementar-symmetrischen Funktionen auf ${\displaystyle {}X'}$ sich auf ganz ${\displaystyle {}X}$ meromorph fortsetzen lassen. Die Gültigkeit der algebraischen Gleichung liegt nach dem Identitätssatz auf ganz ${\displaystyle {}Y}$ vor, da sie auf einer offenen Teilmenge gilt.

Nehmen wir an, dass eine Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,}$

vorliegt, deren Grad unendlich ist oder endlich ist mit einem Grad, der größer als ${\displaystyle {}n}$ ist. Im ersten Fall gibt es nachLemma 26.6innerhalb von ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(Y)}$ eine unendliche Kette von endlichen Körpererweiterungen

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(X)\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1}]\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1},f_{2}]\subset \ldots \,,}$

es gibt dann also auch (wie sowieso im zweiten Fall)eine endliche Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(X)\subset L\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,,}$

deren Grad über ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(X)}$ größer als ${\displaystyle {}n}$ ist. NachSatz 13.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))gibt es ein${\displaystyle {}f\in L}$,das ${\displaystyle {}L}$ erzeugt,also

${\displaystyle {}L={\mathcal {M}}(X)[f]\,.}$

Dabei ist der Grad des irreduziblen Minimalpolynomsvon ${\displaystyle {}f}$ gleich dem Grad der Körpererweiterung im Widerspruch zuLemma 26.6.

Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens ${\displaystyle {}n}$ ist, wurde inLemma 26.7bewiesen.

Es sei nun

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(Y)={\mathcal {M}}(X)[g]\,}$

und es ist zu zeigen, dass das Minimalpolynomvon${\displaystyle {}g}$ den Grad ${\displaystyle {}n}$ besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom

${\displaystyle {}H=T^{m}+a_{m-1}T^{m-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,}$

mit${\displaystyle {}a_{j}\in {\mathcal {M}}(X)}$(aufgefasst in ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(Y)}$)hat Grad${\displaystyle {}m<n}$.Es sei${\displaystyle {}Q\in X}$ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die ${\displaystyle {}a_{j}}$ holomorph sind und worüber ${\displaystyle {}g}$ holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}\in Y}$. Diese erfüllen die Gleichung

${\displaystyle {}0=H(g)(P_{i})={\left(\sum _{j=0}^{m}a_{j}g^{j}\right)}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(P_{i})g^{j}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)g(P_{i})^{j}\,.}$

D.h. die Punkte ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ haben die Eigenschaft, dass alle Werte ${\displaystyle {}g(P_{i})}$ Nullstellen des Polynoms ${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)T^{j}}$ sind. Da es nur ${\displaystyle {}m}$ Nullstellen gibt, muss beispielsweise${\displaystyle {}g(P_{1})=g(P_{2})}$sein. Da ${\displaystyle {}g}$ jedoch zusammen mit ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(X)}$ den Körper der meromorphen Funktionen auf ${\displaystyle {}Y}$ erzeugt, haben ${\displaystyle {}P_{1}}$ und ${\displaystyle {}P_{2}}$für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis vonSatz 26.2.

NachSatz 26.3 gibt es eine surjektiveendlicheholomorphe Abbildung

${\displaystyle X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},}$

sagen wir mit Blätterzahl ${\displaystyle {}n}$. NachSatz 26.8liegt eine endliche Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1})\subseteq {\mathcal {M}}(X)\,}$

vom Grad${\displaystyle {}n}$ vor und nachSatz 19.19ist

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1})\cong {\mathbb {C} }(t)\,.}$

Es gibt einen algebraischen endlichen Morphismus

${\displaystyle X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},}$

dabei ist der Grad${\displaystyle {}n}$ der Körpererweiterung der Funktionenkörper${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(t)=K({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1})\subseteq K(X)}$nachSatz 13.8 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))gleich der generischen Anzahl der Urbildpunkte. Diese Abbildung induziert eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen

${\displaystyle X_{\text{an}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},}$

deren Blätterzahl gleich ${\displaystyle {}n}$ ist. Nach(dem Beweis von)Satz 26.9besitzt die Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(t)\subseteq {\mathcal {M}}(X)\,}$

ebenfalls den Grad ${\displaystyle {}n}$. Aus der trivialen Inklusion${\displaystyle {}K(X)\subseteq {\mathcal {M}}(X)}$folgt dann${\displaystyle {}K(X)={\mathcal {M}}(X)}$.

Wir argumentieren über die offene Teilmenge von ${\displaystyle {}X}$, auf der die meromorphen Funktionen holomorph sind, was die Irreduzibilität nicht ändert. Die ${\displaystyle {}\alpha _{i}}$ seien also holomorph. Die Abbildung${\displaystyle {}Y\rightarrow X}$istendlich.Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung

${\displaystyle {}Y=Y_{1}\uplus \ldots \uplus Y_{k}\,}$

in Zusammenhangskomponenten ${\displaystyle {}Y_{j}}$. Die induzierten Abbildungen${\displaystyle {}Y_{j}\rightarrow X}$sind ebenfalls endlich. NachLemma 26.6erfüllt die auf ${\displaystyle {}Y_{1}}$ eingeschränkte Funktion ${\displaystyle {}T}$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad ${\displaystyle {}<n}$. Sie erfüllt aber auch die Ausgangsgleichung auf ${\displaystyle {}Y}$ und damit auf ${\displaystyle {}Y_{1}}$. Dies widerspricht der Irreduzibilität.

NachSatz 26.8liegt eineendliche Körpererweiterung${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}}$vom Grad${\displaystyle {}n}$ vor. NachSatz 13.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))ist

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}={\mathcal {M}}{\left(X\right)}[g]\cong {\mathcal {M}}{\left(X\right)}[T]/(H)\,}$

mit einermeromorphen Funktion${\displaystyle {}g}$ auf ${\displaystyle {}Y}$ und einem Minimalpolynom

${\displaystyle {}H=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,}$

mit meromorphen Funktionen${\displaystyle {}a_{j}\in {\mathcal {M}}{\left(X\right)}}$.Es sei${\displaystyle {}X'\subseteq X}$das Komplement einer diskreten Teilmenge derart, dass ${\displaystyle {}\pi }$ über ${\displaystyle {}X'}$ unverzweigtist, dass die ${\displaystyle {}a_{j}}$ holomorphauf ${\displaystyle {}X'}$ sind und dass ${\displaystyle {}g}$ auf

${\displaystyle {}Y'=\pi ^{-1}(X')\,}$

holomorph ist. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \pi \times g\colon Y'\longrightarrow X'\times {\mathbb {C} }.}$

Wegen${\displaystyle {}H(g)=0}$als holomorphe Funktion auf ${\displaystyle {}Y}$ ist

${\displaystyle {}H(g)(P)={\left(\sum _{j=0}^{n}a_{j}g^{j}\right)}(P)=\sum _{j=0}^{n}a_{j}(\pi (P))g^{j}(P)=H(\pi (P),g(P))=0\,}$

und daher liegt das Bild von ${\displaystyle {}\pi \times g}$ im Nullstellengebilde ${\displaystyle {}V}$ zu ${\displaystyle {}H}$. Die Abbildung ist injektiv (vergleiche den Beweis zuSatz 26.8)und aus Anzahlgründen auch surjektiv. Wir haben also eine Homöomorphie zwischen den beiden holomorphenÜberlagerungen${\displaystyle {}Y'\rightarrow X'}$und ${\displaystyle {}V\rightarrow X'}$über ${\displaystyle {}X'}$. Daher ist${\displaystyle {}Y'\rightarrow V}$auch biholomorph.