Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 27

Bei der affinen Standardüberdeckung

${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V\,}$

mit${\displaystyle {}U\cong {\mathbb {C} }}$und${\displaystyle {}V\cong {\mathbb {C} }}$ist

${\displaystyle {}U\cap V\cong {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.}$

WegenKorollar 25.7und der entsprechenden Aussage für ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$ können wirSatz 22.4heranziehen. Eine erste Kohomologieklasse zur Strukturgarbe ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$ wird somit durch eine holomorphe Funktion ${\displaystyle {}h}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$ repräsentiert. Die Theorie der Laurent-Entwicklungauf einer punktierten Kreisscheibe sichert eine Darstellung

${\displaystyle {}h(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n}=h_{+}+h_{-}\,,}$

wobei

${\displaystyle {}h_{+}=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n}\,}$

den Nebenteil und

${\displaystyle {}h_{-}=\sum _{n=-\infty }^{-1}c_{n}z^{n}\,}$

den Hauptteil bezeichnet. Dabei ist ${\displaystyle {}h_{+}}$ eine holomorphe Funktion auf${\displaystyle {}U={\mathbb {C} }}$.Mit${\displaystyle {}z=w^{-1}}$ist die Funktion

${\displaystyle {}h_{-}(z)=g(w^{-1})=\sum _{m\in \mathbb {N} _{+}}c_{-m}w^{m}\,}$

holomorph fortsetzbar nach

${\displaystyle {}w=0\,}$

(also für${\displaystyle {}z=\infty }$)mit dem Wert ${\displaystyle {}0}$. Somit ist ${\displaystyle {}h}$ die Differenz von auf ${\displaystyle {}U}$ bzw. auf ${\displaystyle {}V}$ definierten holomorphen Funktionen, was bedeutet, dass die Kohomologieklassse trivial ist.

Nach dem Beweis zuSatz 26.2gibt es eine meromorphe Funktion auf ${\displaystyle {}X}$, die außerhalb eines gewählten Punktes ${\displaystyle {}P}$ holomorph ist und dessen Polordnung in ${\displaystyle {}P}$ gleich ${\displaystyle {}1}$ ist. Diese meromorphe Funktion definiert eine endlicheholomorphe Abbildung nach ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$(siehe auchSatz 26.3)der Blätterzahl${\displaystyle {}1}$. Es liegt also eine bijektive Abbildung und damit nachSatz 2.1auch eine biholomorphe Abbildung vor.

Für eine Decktransformation

${\displaystyle \varphi \colon Y\longrightarrow Y}$

und eine meromorphe Funktion${\displaystyle {}f\in {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}}$ist auch ${\displaystyle {}f\circ \varphi }$ wieder meromorph, wobei meromorphe Funktionen auf ${\displaystyle {}X}$ in sich selbst überführt werden. Daher erhält man eine natürliche Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Deck} {\left(Y{|}X\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,({\mathcal {M}}{\left(Y\right)}{|}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}),}$

die offenbar ein Gruppenhomomorphismusist. Es werde ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}}$ über ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}}$ von der meromorphen Funktion ${\displaystyle {}g}$ erzeugt und es sei

${\displaystyle {}H(T)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,}$

dasMinimalpolynommit${\displaystyle {}a_{j}\in {\mathcal {M}}{\left(X\right)}}$.Es sei${\displaystyle {}Q\in X}$ein Punkt, der nicht im Verzweigungsbild liegt und wo die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle {}a_{j}}$ holomorph seien, mit den Urbildpunkten ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$. Dann besitzt ${\displaystyle {}g}$ an diesen Punkten unterschiedliche Werte. Aus ${\displaystyle {}g\circ \varphi =g}$im Körper ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}}$ für alle Decktransformationen ${\displaystyle {}\varphi }$ folgt, dass diese Punkte in sich selbst überführt werden und daraus ergibt sich überhaupt mitLemma 6.16,dass ${\displaystyle {}\varphi }$ die Identität ist. Der Gruppenhomomorphismus ist alsoinjektiv.

Es sei nun ${\displaystyle {}\psi }$ ein Automorphismus des Körpers. Dieser ist durch das Bild ${\displaystyle {}{\tilde {g}}}$ des Erzeugers ${\displaystyle {}g}$ festgelegt, und ${\displaystyle {}{\tilde {g}}}$ erfüllt ebenfalls das Minimalpolynom. Wir betrachten

${\displaystyle {}V={\left\{(x,t)\in X'\times {\mathbb {C} }\mid H(x,t)=0\right\}}\subseteq X'\times {\mathbb {C} }\,,}$

wobei ${\displaystyle {}X'}$ die Teilmenge von ${\displaystyle {}X}$ bezeichne, auf der eine Überlagerung${\displaystyle {}Y'\rightarrow X'}$vorliegt und so, dass die ${\displaystyle {}a_{j}}$ auf ${\displaystyle {}X'}$ und ${\displaystyle {}g}$ auf ${\displaystyle {}Y'}$ holomorph ist. WegenSatz 26.12ist ${\displaystyle {}Y'}$ biholomorph zum Nullstellengebildezu ${\displaystyle {}H}$ über ${\displaystyle {}X'}$. Die Abbildung

${\displaystyle {}\varphi (x,t)=(x,{\tilde {g}}(x,t))\,}$

ist eine Decktransformation oberhalb von ${\displaystyle {}X'}$, die auf ${\displaystyle {}\psi }$ abbildet. NachLemma 9.13lässt sich die Decktransformation auf ganz ${\displaystyle {}Y}$ ausdehnen.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ diemit derBlätterzahlder Abbildung, die nachSatz 26.8mit dem Grad er Körpererweiterung übereinstimmt. Die Aussage folgt ausLemma 27.5.Galoissch bedeutet nachDefinition 14.8,dass die Galoisgruppe aus ${\displaystyle {}n}$ Elementen besteht. Normalität bedeutet, dass man jeden Faserpunkt in jeden Faserpunkt überführen kann. Das bedeutet, angewendet auf eine Faser ohne Verzweigungspunkte, dass es zumindest ${\displaystyle {}n}$ Decktransformationen gibt. Die Existenz von ${\displaystyle {}n}$ Decktransformationen bedeutet wiederum für eine unverzweigte Faser, dass von einem Punkt aus jeder andere Punkt erreicht wird, da es wegen der Eindeutigkeit der Liftung nur eine Decktransformation gibt, die einen Punkt erreicht.

Die Integrale hängen nicht von Verzweigungspunkten ab. Wir berechnen also die Wegintegrale abschnittsweise im unverzweigten Ort. Es sei${\displaystyle {}U\subseteq X}$ eine offene Kreisscheibe außerhalb des Verzweigungsortes und sei

${\displaystyle {}p^{-1}(U)=\biguplus _{i\in I}V_{i}\,.}$

Es sei${\displaystyle {}p_{i}\colon V_{i}\rightarrow U}$der lokale Homöomorphismus und sei${\displaystyle {}\omega {|}_{V_{i}}=\omega _{i}}$.Wir bezeichnen die eingeschränkten Wege auf ${\displaystyle {}U}$ bzw. auf ${\displaystyle {}V_{i}}$ wie zuvor. Dabei gilt wegen der Biholomorphie

${\displaystyle {}\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta _{i}}{\omega _{i}}=\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega &=\sum _{i\in I}\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\sum _{i\in I}p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}.\end{aligned}}}$

Bei ${\displaystyle {}f}$ konstant ist die Aussage klar, sei also ${\displaystyle {}f}$ nicht konstant. Wir fassen ${\displaystyle {}f}$ im Sinne vonSatz 18.6als eine endlicheholomorphe Abbildung${\displaystyle {}f\colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$auf. Die Anzahl von ${\displaystyle {}I}$ ist die Blätterzahl ${\displaystyle {}n}$ von ${\displaystyle {}f}$ und nachSatz 26.8auch der Grad der Körpererweiterung${\displaystyle {}{\mathcal {M}}{\left({\mathbb {P} }_{}^{1}\right)}={\mathbb {C} }(t)\subseteq {\mathcal {M}}{\left(X\right)}}$.NachKorollar 19.14besteht die Faserüber ${\displaystyle {}0}$ aus den Punkten ${\displaystyle {}P_{i}}$ und die Faser über ${\displaystyle {}\infty }$ aus den Punkten ${\displaystyle {}Q_{i}}$, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wir fixieren einen Basisweg ${\displaystyle {}\delta }$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ von ${\displaystyle {}0}$ nach ${\displaystyle {}\infty }$, der außer eventuell am Rand durch keinen Verzweigungsbildpunkt verläuft. Dieser Weg liftet zu ${\displaystyle {}n}$ Wegen ${\displaystyle {}\delta _{i}}$, wobei ${\displaystyle {}\delta _{i}}$ in ${\displaystyle {}P_{i}}$ beginnen soll. In der Wegfamilie bestehend aus allen ${\displaystyle {}\gamma _{i}}$ und ${\displaystyle {}\delta _{i}}$ tritt jeder Punkt genauso oft als Anfangspunkt und als Endpunkt auf (der Punkt ${\displaystyle {}P_{i}}$ tritt so oft auf, wie es die Verzweigungsordnung angibt). Es liegt also ein Zykel vor bzw. man kann die Wege in eine Reihenfolge bringen, dass ein geschlossener Weg entsteht. Damit ist

${\displaystyle {}\sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega +\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega \in \operatorname {Per} (\omega )\,.}$

NachLemma 27.9ist

${\displaystyle {}\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=0\,,}$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass nachLemma 15.9auf der projektiven Geraden die globale holomorphe Differentialform ${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}}$ trivial ist. Also ist

${\displaystyle {}\sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega \in \operatorname {Per} (\omega )\,.}$