Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 25

Wir beschreiben verschiedene Berechnungen von Kohomologien auf Mannigfaltigkeiten und speziell riemannschen Flächen.Ein wichtiges Hilfsmittel im reellen Fall ist die Partition der Eins, was auch für den komplexen Fall unmittelbar Auswirkungen besitzt.

Partition der Eins

Definition

Es sei ${}X$ eintopologischer Raum.Eine Familie von Funktionen

h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}

mit ${}j\in J$ heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

Es ist ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle ${}j\in J$ .
Jeder Punkt ${}P\in X$ besitzt eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
Es ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$ .

Wenn alle

{}h_{j}

stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckungeinestopologischen Raumes ${}X$ . EinePartition der Eins

h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}

mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes ${}j\in J$ eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart gibt, dass derTrägervon ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.

Satz

Es sei ${}M$ einedifferenzierbare Mannigfaltigkeitmit einerabzählbaren Basisder Topologie.

Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnetestetig differenzierbare Partition der Eins.

Es gibt auch differenzierbare und ${}C^{\infty }$ -Versionen dieses Satzes.

Satz

Es sei ${}M$ eine reelle ${}C^{\infty }$ -differenzierbare Mannigfaltigkeitmit einerabzählbaren Basis der Topologie.

Dann gilt für die Garbeder ${}C^{\infty }$ -differenzierbaren Funktionen ${}{\mathcal {E}}$ die Beziehung

${}H^{1}(M,{\mathcal {E}})=0\,.$

Beweis

Wir verwendenSatz 22.6und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eineoffene Überdeckungund sei ein Čech-Kozykel ${}h_{ij}\in \Gamma {\left(U_{ij},{\mathcal {E}}\right)}$ gegeben. Wir arbeiten mit der ${}C^{\infty }$ -Version der Partition der Eins, sieheSatz 25.3.Es sei also ${}g_{j}$ , ${}j\in J$ eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung ${}U_{i}$ untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge ${}J$ über

{}U_{j}:=U_{i(j)}\,,

somit ist der Träger von ${}g_{j}$ in ${}U_{j}$ . Die ${}U_{j}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eineVerfeinerungder Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung ${}j\mapsto i(j)$ vor(es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach).Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder ${}I$ .

Wir betrachten die Funktionen ${}g_{j}h_{ij}$ , diese ist auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ definiert, kann aber durch ${}0$ auf ganz ${}U_{i}$ fortgesetzt werden.

Wir setzen

{}f_{i}=\sum _{j\in I}g_{j}h_{ij}\,,

was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine ${}C^{\infty }$ -Funktion auf ${}U_{i}$ ist. Die Kozykelbedingung ${}h_{ij}=h_{ik}-h_{jk}$ auf ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ überträgt sich durch Multiplikation mit ${}g_{k}$ auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ , da außerhalb von ${}U_{k}$ beide Seiten zu ${}0$ werden. Damit ist auf ${}U_{i}\cap U_{j}$

{}{\begin{aligned}h_{ij}&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ij}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}{\left(h_{ik}-h_{jk}\right)}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ik}-\sum _{k\in I}g_{k}h_{jk}\\&=f_{i}-f_{j}\end{aligned}}

und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.

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Satz

Es sei ${}M$ einekomplexe Mannigfaltigkeit mit einerabzählbaren Basisder Topologie.

Dann gilt für die erste Kohomologie der Garbe der reell unendlich oft differenzierbaren Funktionen

${}H^{1}(M,{\mathcal {E}})=0\,.$

Beweis

Dies folgt direkt ausSatz 25.4,da man für die komplexwertigen Funktionen die Zerlegung in Real- und Imaginärteil hat.

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Von nun an setzen wir stets voraus, dass riemannsche Flächen eine abzählbare Basis der Topologie haben. Dies ist im kompakten Fall und auch für jede offene Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$ erfüllt und wird häufig von vornherein zur Definition einer riemannschen Fläche hinzugenommen.

Korollar

Auf einerriemannsche Fläche ${}X$ gilt

${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\cong \Gamma {\left(X,{\mathcal {E}}^{(0,1)}\right)}/d^{a}{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {E}}\right)}\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus der Exaktheit des Komplexes(sieheSatz 16.14)

0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(0,1)}\longrightarrow 0,

ausSatz 25.5und aus der langen exakten Kohomologiesequenz.

\Box

Korollar

Für dieriemannsche Fläche ${}{\mathbb {C} }$ gilt

${}H^{1}({\mathbb {C} },{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} })=0\,.$

Beweis

Dies folgt wegenKorollar 25.6ausSatz 16.13.

\Box

Bemerkung

Mit Partitionen der Eins kann man auch zeigen, dass für die Garben der ${}C^{\infty }$ -Funktionen und der ${}C^{\infty }$ -Differentialformen vom Grad ${}d$ auf einer reellen ${}C^{\infty }$ -Mannigfaltigkeit ${}M$ alle höheren Kohomologien gleich ${}0$ sind. Für eine riemannsche Fläche folgt daher ausSatz 16.14mit den Ausschnitten (für ${}i\geq 2$ )

H^{i-1}(X,{\mathcal {E}})=0{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{i+1}(X,{\mathcal {E}}^{(0,1)})=0

aus der langen Kohomologiesequenz sofort

{}H^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0\,

für ${}i\geq 2$ .Für höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten sind auch höhere Kohomologien der Strukturgarbe wichtig.

Der de Rham-Komplex

Auf einer ${}C^{\infty }$ -differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bilden die (reell- oder komplexwertigen) ${}k$ -DifferentialformeneineGarbe ${}U\mapsto {\mathcal {E}}^{k}(U)$ . Die äußere Ableitungdefiniert einen Garbenhomomorphismus

d\colon {{\mathcal {E}}^{k}}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{k+1}}.

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$ -dimensionale ${}C^{\infty }$ -reelle Mannigfaltigkeit.Man nennt den durch dieäußeren AbleitungengegebenenGarbenkomplex

0\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(2)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n-1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}0

dende-Rham-Komplex auf ${}M$ .

Wichtige Eigenschaften der äußeren Ableitung werden inSatz 86.4 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))formuliert. Ferner ist wegen des Lemmas von Poincaré für Differentialformen der Komplex ab der Stelle ${}i\geq 1$ als Garbenkomplex exakt. Öfters ergänzt man links den Komplex durch die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$ oder in ${}{\mathbb {C} }$ , um überall Exaktheit zu erreichen. In der gegebenen Form ist der Komplex aber gerade eine Auflösung dieser lokal konstanten Garbe. Die globale Auswertung ist im Allgemeinen nicht exakt, vielmehr die Grundlage für die Einführung der de-Rham-Kohomologie.

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$ -dimensionale ${}C^{\infty }$ -reelle Mannigfaltigkeit.Man definiert über dende-Rham-Komplexdie ${}i$ -te de-Rham-Kohomologie von ${}M$ durch

{}H_{dR}^{i}(M):=\operatorname {kern} \left({{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i+1)}}{\left(M\right)}\right)/\operatorname {bild} {\left({{\mathcal {E}}^{(i-1)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}\right)}\,.

Eine ${}i$ -te de Rham-Kohomoloieklasse wird also durch eine geschlossene ${}i$ -te Differentialform ${}\omega$ repräsentiert, wobei zwei Differentialformen die gleiche Klasse definieren, wenn ihre Differenz eine exakte Differentialform ist.

Für eine riemannsche Fläche ist die komplexwertige Version des de-Rham-Komplexes(mit den lokal konstanten Funktionen)gleich

0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\longrightarrow 0.

Die Kerngarbe

{}{\mathcal {Z}}:=\operatorname {kern} \left({\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\right)\,

ist die Garbe der geschlossenen differenzierbaren komplexwertigen ${}1$ -Formen. Mit ${}{\mathcal {Z}}$ kann man diesen exakten Komplex in zwei kurze exakte Garbensequenzen aufspalten, nämlich

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

und

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {E}}^{(1)}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {E}}^{(2)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.

Korollar

Für dieGarbeder lokal konstanten ${}{\mathbb {C} }$ -wertigen Funktionen auf einerriemannschen Fläche ${}X$ gilt

${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })=H_{dR}^{1}(X)\,$

und

{}H^{2}(X,{\mathbb {C} })=H_{dR}^{2}(X)\,.

Beweis

Wir arbeiten mit der kurzen exakten Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,

die sich aus dem(komplexwertigen)de-Rham-Komplexergibt, wenn man ${}{\mathcal {Z}}:=\operatorname {kern} \left({\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\right)$ setzt. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz in Verbindung mitSatz 25.4ist

{}H^{1}(X,{\mathbb {C} })=H^{0}(X,{\mathcal {Z}})/\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {Z}})\right)}\,.

Wegen der Linksexaktheit der globalen Auswertung ist

{}H^{0}(X,{\mathcal {Z}})=\operatorname {kern} \left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(1)}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})\right)\,

und somit stimmt der obige Ausdruck mit der Definition der ersten de-Rham-Kohomologie überein. Für den zweiten Teil sieheAufgabe 25.8.

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Divisoren, invertierbare Garben und Kohomologie

InLemma 19.11wurde auf einer zusammenhängenden riemannschen Flächediekurze exakte Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

betrachtet.

Lemma

Auf einerzusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$

gibt es dieexakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }){\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\operatorname {Div} {\left(X\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\longrightarrow 1.$

Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.

Beweis

Die lange exakte Kohomologiesequenzzurkurzen exakten Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

ist

0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }){\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\operatorname {Div} {\left(X\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\longrightarrow 0,

wobei die ${}0$ rechts auf der Welkheit der Divisorengarbe beruht. Der Zusatz folgt unmittelbar aus der Definition der Divisorenklassengruppe.

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NachBeispiel 21.10in Verbindung mitSatz 22.6ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ isomorph zur Gruppe von Isomorphieklassen von invertierbaren Garben mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung. Der verbindende Homomorphismus

\delta \colon \operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })

stimmt im Wesentlichen mit der Zuordnung aus derDefinition 20.14überein. In Bemerkung 26.13wird erläutert, dass im kompakten Fall sogar

{}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,

gilt.

Die Exponentialsequenz

Lemma

Auf einerriemannschen Fläche

liegt die lange exakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0$

vor.

Wenn ${}X$ kompaktist, so ist

0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0

exakt.

Beweis

Die holomorphe Exponentialsequenz(siehe Beispiel 11.14)

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

ergibt die angegebene lange exakte Kohomologiesequenz,wobei man die Sequenz wegen

{}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0\,

abbrechen kann. Es sei nun ${}X$ kompakt, wir können zusätzlich zusammenhängendannehmen. Dann sind die Anfangsterme der Sequenz nachSatz 3.7gleich

0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }.

NachAufgabe 1.4ist die hintere Abbildung surjektiv,man kann also die weitere Sequenz „neu“ bei ${}0$ beginnen lassen.

\Box

Man kann ferner zeigen, dass im kompakten Fall ${}H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ ist(für die projektive Gerade siehe Aufgabe 21.6).Die letzte Abbildung ist dabei die Gradabbildung im Sinne vonDefinition 20.18.

Beispiel

Es sei ${}X$ eineriemannsche Flächeund ${}U_{1}\subseteq X$ eineoffene Kreisscheibemit zwei Punkten ${}P,Q\in U_{1}$ .Es sei ${}\gamma$ die(auf der Karte)lineare Verbindung von ${}Q$ nach ${}P$ . Wir setzen

{}U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,,

insbesondere bilden die beiden offenen Mengen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ eineoffene Überdeckungvon ${}X$ . Dabei ist

{}U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,

homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ definiert als Čech-Kozykeleine erste Kohomologieklasse von ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ . Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz(sieheLemma 25.13)wird ${}h$ auf ${}e^{h}$ abgebildet. Dabei wird die inBeispiel 13.16eingeführte Funktion ${}\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)$ , aufgefasst auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ , auf

{}e^{\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)}={\frac {z-P}{z-Q}}\,

abgebildet, was eine Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ definiert. Wir verwendenLemma 25.12und betrachten denDivisor ${}P-Q$ . Dieser ist auf ${}U_{1}$ der Hauptdivisor zu ${}{\frac {z-P}{z-Q}}$ und auf ${}U_{2}$ der Hauptdivisor zu ${}1$ . Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet.

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