Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 26

Interpretiere die meromorphen Funktionen${\displaystyle {}{\frac {1}{z^{i}}}}$ in der Situation des Beweises zuSatz 26.2alsHauptteilverteilungenauf ${\displaystyle {}X}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche FlächevomGeschlecht${\displaystyle {}g}$ und sei${\displaystyle {}P\in X}$ein Punkt. Zeige, dass man jede Hauptteilverteilungmit Träger in ${\displaystyle {}P}$ als eine Summe aus einer Hauptteilverteilung zu einermeromorphen Funktionauf ${\displaystyle {}X}$ und einer Hauptteilverteilung der Form ${\displaystyle {}\sum _{i=-1}^{-g}c_{i}z^{i}}$ schreiben kann.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund${\displaystyle {}P,Q\in X}$zwei Punkte auf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass es eine auf ${\displaystyle {}X}$ definierte meromorphe Funktion${\displaystyle {}f}$ gibt, die in den beiden Punkten holomorph ist mit den Werten${\displaystyle {}f(P)=0}$und${\displaystyle {}f(Q)=1}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund seien${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X}$Punkte auf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass es eine auf ${\displaystyle {}X}$ definierte meromorphe Funktion${\displaystyle {}f}$ gibt, die genau in den vorgegebenen Punkten einen Pol besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Flächeund seien${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X}$Punkte auf ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass es eine auf ${\displaystyle {}X}$ definierte nichtkonstantemeromorphe Funktion${\displaystyle {}f}$ gibt, die in den vorgegebenen Punkten holomorph ist und dort den vorgegebenen Wert${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einekompaktezusammenhängenderiemannsche Fläche,seien${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{k}\in X}$Punkte auf ${\displaystyle {}X}$ und sei${\displaystyle {}D=\sum _{i=1}^{k}P_{i}}$der Divisor,${\displaystyle {}k\geq 1}$.Es sei

${\displaystyle {}R_{D}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,,}$

vergleicheAufgabe 20.19.Zeige, dass ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}}$ derQuotientenkörpervon ${\displaystyle {}R}$ ist.

Betrachte dieAbbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).}$

Zeige, dass ein Punkt ${\displaystyle {}(x,y,z)}$ genau dann einkritischer Punktvon ${\displaystyle {}\varphi }$ ist, wenn in ${\displaystyle {}(x,y,z)}$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper.Wir betrachten zu jedem${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),}$

die einem Nullstellentupel ${\displaystyle {}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)}$ das Koeffiziententupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$(ohne die ${\displaystyle {}1}$)desnormierten Polynoms

${\displaystyle {}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,}$

zuordnet.

1. Beschreibe ${\displaystyle {}\varphi }$ explizit für${\displaystyle {}n=2}$.
2. Beschreibe ${\displaystyle {}\varphi }$ explizit für${\displaystyle {}n=3}$.
3. Begründe, dass die ${\displaystyle {}\varphi }$ polynomiale Abbildungensind.
4. Zeige, dass die Fasernvon ${\displaystyle {}\varphi }$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$erreicht wird.
7. Es sei ${\displaystyle {}K}$ nun algebraisch abgeschlossen.Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv ist.

Schreibe dassymmetrische Polynom

${\displaystyle 3X^{2}Y^{2}Z^{2}-X^{4}-Y^{4}-Z^{4}+X^{3}Y^{3}Z^{3}}$

als Polynom in denelementarsymmetrischen Polynomen.

Schreibe diesymmetrischen Polynome

${\displaystyle X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}}$

als Polynom in denelementarsymmetrischen Polynomen.