Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 25

Es sei${\displaystyle {}p\in \mathbb {R} [Y]}$ einPolynomund

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.}$

Zeige, dass die Ableitung${\displaystyle {}g'(x)}$ ebenfalls von der Form

${\displaystyle {}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,}$

mit einem weiteren Polynom ${\displaystyle {}q}$ ist.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.}$

Zeige, dass für jedes${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ die ${\displaystyle {}n}$-te Ableitung${\displaystyle {}f^{(n)}}$ die Eigenschaft

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,}$

besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raum.Bestimme zur Überdeckung von ${\displaystyle {}X}$ durch ${\displaystyle {}X}$ eineuntergeordnete Partition der Eins.

Man gebe zur offenen Überdeckung

${\displaystyle {}\mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }]n,n+3[\,}$

eine untergeordnete stetige Partition der Einsan.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ eineoffene Überdeckung.Wir betrachten die Familie derIndikatorfunktionen

${\displaystyle e_{P},P\in X.}$

Welche Eigenschaften einer(dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Einserfüllt diese Familie?

Es sei${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$einreelles Intervallund${\displaystyle {}I=U\cup V}$eine Überdeckung mit(in ${\displaystyle {}I}$)offenen Intervallen. Zeige, dass man einestetige Funktion

${\displaystyle f\colon U\cap V\longrightarrow \mathbb {R} }$

als

${\displaystyle {}f=g{|}_{U\cap V}-h{|}_{U\cap V}\,}$

mit stetigen Funktionen${\displaystyle {}g\colon U\rightarrow \mathbb {R} }$und${\displaystyle {}g\colon V\rightarrow \mathbb {R} }$schreiben kann.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine reelle${\displaystyle {}C^{\infty }}$-differenzierbare Mannigfaltigkeitmit einerabzählbaren Basis der Topologie.Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}^{(1)}}$ die Garbeder${\displaystyle {}C^{\infty }}$-differenzierbaren(reell- oder komplexwertigen)${\displaystyle {}1}$-Differentialformenauf ${\displaystyle {}M}$. Zeige

${\displaystyle {}H^{1}(M,{\mathcal {E}}^{(1)})=0\,.}$

Zeige, dass für dieGarbeder lokal konstanten ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-wertigen Funktionen auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ die Beziehung

${\displaystyle {}H^{2}(X,{\mathbb {C} })=H_{dR}^{2}(X)\,}$

gilt.

Man entwickle die lange exakte Kohomologiesequenz zur exakten Garbensequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

ausSatz 16.15auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$.

Es sei${\displaystyle {}P\in X}$ein Punkt auf einer zusammenhängendenriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ und${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$.Zeige, dass man die zumDivisor${\displaystyle {}nP}$ zugehörige Kohomologieklasse in ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$ durch die offene Überdeckung mit einem Kartengebiet ${\displaystyle {}U_{1}}$ um ${\displaystyle {}P}$ mit der Variablen ${\displaystyle {}z}$ und${\displaystyle {}U_{2}=X\setminus \{P\}}$und der holomorphen Einheit ${\displaystyle {}z^{n}}$ auf

${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \{P\}\,}$

realisieren kann.