Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 11

Wir knüpfen anBeispiel 10.5an, d.h. es seien${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$topologische Räumeund es sei

${\displaystyle p\colon Y\longrightarrow X}$

eine fixierte stetige Abbildung,und es sei

${\displaystyle U\mapsto S(U,Y)={\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}}}$

diePrägarbeder stetigen Schnitte in ${\displaystyle {}Y}$. Dies ist eine Garbe. Die erste Serresche Bedingung ist erfüllt, da zwei Schnitte übereinstimmen, wenn sie in jedem Punkt${\displaystyle {}P\in U}$den gleichen Wert haben, was bei einer offenen Überdeckung lokal getestet werden kann. Die zweite Serresche Bedingung ist erfüllt, da man zu einer Familie von stetigen verträglichen Schnitten

${\displaystyle s_{i}\colon U_{i}\longrightarrow Y{|}_{U_{i}}}$

direkt einen Schnitt

${\displaystyle s\colon U\longrightarrow Y{|}_{U}}$

definieren kann, der diese simultan fortsetzt. Die Stetigkeit folgt, da diese lokal getestet werden kann.

Zu einertopologischen Gruppe${\displaystyle {}G}$ und einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ ist durch ${\displaystyle {}U\mapsto C^{0}(U,G)}$ eine Garbegegeben, die Garbe der stetigen Abbildungen mit Werten in ${\displaystyle {}G}$. Es handelt sich um eine Garbe von Gruppen. Die Garbeneigenschaften beruhen darauf, dass die Gleichheit von stetigen Abbildungen punktweise getestet werden kann und dass sich stetige Abbildungen, die auf offenen Mengen definiert sind und auf den Durchschnitten übereinstimmen, zu einer globalen stetigen Abbildung fortsetzen.

Wir betrachten den stetigenGruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),}$

also die periodischetrigonometrische Parametrisierungdes Einheitskreises. Dies induziert einen Garbenmorphismus

${\displaystyle C^{0}(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(-,S^{1})}$

auf jedemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Einer stetigen reellwertigen Funktion${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }$auf${\displaystyle {}U\subseteq X}$wird die Hintereinanderschaltung

${\displaystyle \varphi \circ f\colon U\longrightarrow S^{1}}$

zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist surjektiv,da ${\displaystyle {}\varphi }$ lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise${\displaystyle {}X=S^{1}}$ ist, so besitzt die Identität auf ${\displaystyle {}S^{1}}$ keine stetige Liftung nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$

Zu einem stetigenGruppenhomomorphismus${\displaystyle {}\varphi \colon F\rightarrow G}$zwischentopologischen Gruppen${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}G}$wird auf jedem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$ ein Homomorphismus von Garben von Gruppenfestgelegt, indem auf jeder offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U}$ die Zuordnung

${\displaystyle C^{0}(U,F)\longrightarrow C^{0}(U,G),\,f\longmapsto \varphi \circ f,}$

betrachtet wird.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Wir versehen die ganzen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit der diskreten Topologieund betrachten dazu auf ${\displaystyle {}X}$ die Garbe der stetigen Abbildungen nach ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ im Sinne vonBeispiel 11.3.Es handelt sich um eine Garbe von lokal-konstanten Abbildungen. Über den Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,n\longmapsto 2\pi {\mathrm {i} }n,}$

können wir diese Garbe als eine Untergarbe der Garbe derholomorphen Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ auffassen, da ja stetige lokal-konstante Funktionen insbesondere holomorph sind. In diesem Fall besitzt dieQuotientengarbe${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}/2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z} }$ eine einfachere Beschreibung, als die Definition der Quotientengarbe als Vergarbung einer Prägarbe vermuten lässt. Die Quotientengarbe ist nämlich die Garbe der holomorphen Funktionen mit Werten in${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$.Diese Garbe nennt man die Garbe der holomorphen Einheiten auf ${\displaystyle {}X}$ und bezeichnet sie mit ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$. DieExponentialfunktionist eine holomorphe surjektive Funktion

${\displaystyle \exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },}$

diese definiert im Sinne von Beispiel 11.10einen Garbenhomomorphismus

${\displaystyle \exp \colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{\times },}$

wobei eine holomorphe Funktion ${\displaystyle {}f}$ auf einer offenen Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$auf ${\displaystyle {}\exp \circ f}$ abgebildet wird. Der Kerndieses Garbenhomomorphismus ergibt die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${\displaystyle {}2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z} }$, da genau diese Zahlen unter der Exponentialfunktion auf ${\displaystyle {}1}$ abbilden. Wir behaupten, dass der durch die Exponentialabbildung gegebene Garbenhomomorphismussurjektivist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, die wir für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$nachweisen müssen. Sei${\displaystyle {}P\in U}$ eine offene Umgebung und sei

${\displaystyle h\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }}$

eine holomorphe Funktion. Zu ${\displaystyle {}h(P)}$ gibt es, da die komplexe Exponentialfunktion nachBeispiel 6.3eineÜberlagerungist, auf einer offenen Umgebung${\displaystyle {}h(P)\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }}$einen holomorphen Schnitt(einen lokalen Logarithmus)

${\displaystyle s\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

mit${\displaystyle {}\exp \left(s(z)\right)=z}$für${\displaystyle {}z\in V}$.Auf ${\displaystyle {}h^{-1}(V)}$ ist somit ${\displaystyle {}s\circ h}$ eine holomorphe Funktion, die unter der Exponentialfunktion auf ${\displaystyle {}h}$ abbildet.

Die Exponentialfunktion ist nicht global surjektiv. Wenn man beispielsweise${\displaystyle {}X={\mathbb {C} }^{\times }}$setzt, so ist die globale Auswertung der Exponentialabbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.