Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 10

Prägarben

Zu einer riemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ und einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U}$ bezeichnen wir die Menge der auf ${\displaystyle {}U}$ definiertenholomorphen Funktionenmit ${\displaystyle {}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$, dies ist eine im Allgemeinen ziemlich komplizierte(man denke an${\displaystyle {}X=U={\mathbb {C} }}$)${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Algebra,wobei die komplexen Zahlen selbst als konstante holomorphe Funktionen zu interpretieren sind. InLemma 3.9haben wir wichtige Eigenschaften festgehalten, die das Verhalten dieser Algebren betreffen, wenn man die offenen Teilmengen variiert. Insbesondere ist zu offenen Teilmengen${\displaystyle {}V\subseteq U\subseteq X}$die Restriktionsabbildung

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f{|}_{V},}$

ein${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Algebrahomomorphismus.Zu einem Punkt${\displaystyle {}x\in X}$kann man sich fragen, welche holomorphen Funktionen in einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}x}$ definiert sind. Da es Kartenumgebungen gibt und unter einer Kartenabbildung sich die holomorphen Funktionen auf dem Kartengebiet und die holomorphen Funktionen auf dem Kartenbild (typischerweie eine offene Kreisscheibe um ${\displaystyle {}0}$)entsprechen, kann diese Frage nach ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ übersetzt werden und ergibt für jeden Punkt den Ring der konvergenten Potenzreihen als Antwort. Hier wiederholt sich auf der Ebene der holomorphen Funktionen das Prinzip, dass riemannsche Flächen lokal „einfach“ (was hier lediglich heißt, dass sie mit Mitteln der Funktionentheorie behandelt werden können)und global kompliziert sind. Die beim Zusammenkleben von offenen Mengen und bei der Beziehung zwischen lokalen und globalen Fragen auftretenden Gesetzmäßigkeiten werden durch das abstrakte Konzept einer Garbe erfasst, sie gelten in sehr unterschiedlichen Bereichen der Mathematik, insbesondere in der Topologie, komplexen Analysis und algebraischen Geometrie.

Die Abbildungen ${\displaystyle {}\rho _{V,U}}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$ nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge ${\displaystyle {}U}$. Statt ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$ schreib mat auch ${\displaystyle {}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}}$.

Grundbeispiele für Prägarben(und Garben)sind die folgenden Konstruktionen.

Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein beringter Raum vorliegt.

Ebenso kann man die stetigen ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-wertigen Funktionen oder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die differenzierbaren Funktionen oder auf einer komplexen Mannigfaltigkeit die holomorphen Funktionen betrachten.

Dies ist die einzige Prägarbe, der wir begegnen, die keine Garbe ist.

Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element${\displaystyle {}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$auch einen Schnitt der Prägarbe ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ über ${\displaystyle {}U}$. Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge${\displaystyle {}V\subseteq U}$schreibt man auch suggestiver

${\displaystyle {}s{|}_{V}=\rho _{U,V}(s)\,.}$

Da holomorphe Funktionen auf einer riemannschen Fläche insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der holomorphen Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der beliebig oft reell-differenzierbaren ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-wertigen Funktionen.

Prägarben mit Strukturen

Die Prägarbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ ergibt für jede offene Menge${\displaystyle {}U\subseteq X}$nicht nur eine Menge, sondern einen kommutativen Ring,da man ja holomorphe Funktionen, die auf der gleichen Menge definiert sind, miteinander addieren und multiplizieren kann(sieheLemma 3.4undLemma 3.9  (2)).Diese Eigenschaft wird durch die folgende Begriffe erfasst.

Halme von Prägarben

Eine grundlegende Idee von Prägarben und Garben ist, lokale und globale Eigenschaften von geometrischen Objekten sinnvoll zu trennen und ihr Wechselspiel zu verstehen. Eine lokale Eigenschaft ist beispielsweise eine, die auf „kleinen“ offenen Mengen gilt. Oft möchte man aber kleine offene Mengen durch noch kleinere offene Mengen ersetzen, insbesondere, um das Verhalten in einer beliebig kleinen Umgebung eines Punktes verstehen zu können. Dafür führen wir die folgenden Konzepte ein.

Der Kolimes bedeutet hier einfach

${\displaystyle {}\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}=\biguplus _{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}/\sim \,.}$

Dabei ist ${\displaystyle {}\sim }$ auf der disjunkten Vereinigung aller Schnitte zu irgendwelchen offenen Umgebungen von ${\displaystyle {}P}$ diejenige Äquivalenzrelation, bei der${\displaystyle {}(U,s)}$ und ${\displaystyle {}(V,t)}$zueinander in Relation stehen, wenn es eine offene Umgebung${\displaystyle {}P\in W\subseteq U\cap V}$derart gibt, dass

${\displaystyle {}s{|}_{W}=t{|}_{V}\,}$

ist.

Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt${\displaystyle {}s\in {\mathcal {F}}(U)}$ und jedem Punkt${\displaystyle {}P\in U}$ ein eindeutig definiertes Element${\displaystyle {}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}}$,das der Keim von ${\displaystyle {}s}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$ heißt. Die Abbildung

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P},\,s\longmapsto s_{P},}$

heißt Restriktionsabbildung und wird mit ${\displaystyle {}\rho _{U,P}}$ bezeichnet. Zu${\displaystyle {}P\in V\subseteq U}$kommutiert das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\rho _{U,V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {F}}(V)&\\&\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\searrow &\downarrow \rho _{V,P}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}}$

Wenn ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ eine Prägarbe von Gruppen oder von Ringen ist, so übertragen sich diese Strukturen auf die Halme, diese sind also wieder Gruppen bzw. Ringe. Für die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche kann man die Halme einfach bestimmen.

Lemma  

Zu einem Punkt${\displaystyle {}P\in X}$auf einerriemannschen Fläche${\displaystyle {}X}$ ist derHalm${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X,P}}$ der Strukturgarbe ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$ derholomorphen Funktionen

isomorphzum Ring der konvergenten Potenzreihenin einer Variablen.

Beweis  

Zu${\displaystyle {}P\in X}$gibt es ein Kartengebiet${\displaystyle {}P\in U}$und eine Kartenabbildung${\displaystyle {}\alpha \colon U\rightarrow V}$mit${\displaystyle {}V\subseteq {\mathbb {C} }}$.Diese induziert für jede offene Menge${\displaystyle {}U'\subseteq U}$einen${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Algebraisomorphismus

${\displaystyle \Gamma {\left(\alpha (U'),{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U',{\mathcal {O}}_{X}\right)},\,h\longmapsto h\circ \alpha ,}$

und diese kommutieren mit den Restriktionsabbildungen. Somit erhält man auch einen Isomorphismus zwischen dem Halm von ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}}$ in ${\displaystyle {}P}$ und dem Halm von ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }}$ in ${\displaystyle {}\alpha (P)}$. Eine holomorphe Funktion, die in einer offenen Umgebung

${\displaystyle {}Q\in V\subseteq {\mathbb {C} }\,}$

definiert ist, besitzt eine Potenzreihenentwicklung im Punkt ${\displaystyle {}Q}$ mit einem positiven Konvergenzradius. Umgekehrt definiert eine konvergente Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius eine holomorphe Funktion. Diese Korrespondenz ist bijektiv.

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Homomorphismen von Prägarben

Lemma

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund seien ${\displaystyle {}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}}$ Prägarbenauf ${\displaystyle {}X}$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität

   ${\displaystyle {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}}$

   ist einMorphismus von Prägarben.

2. Wenn${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$und${\displaystyle {}\psi \colon {\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$Morphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ${\displaystyle {}\psi \circ \varphi }$ ein Morphismus von Prägarben.
3. Zu einer Unterprägarbe${\displaystyle {}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$ist die natürliche Inklusion ein Morphismus von Prägraben.

Beweis

SieheAufgabe 10.8.

${\displaystyle \Box }$

Lemma  

EinMorphismus von Prägarben

${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}}$

auf einem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$

definiert für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$ eine Abbildung

${\displaystyle \varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}}$

zwischen den Halmen,die mit den Restriktionsabbildungenverträglich sind.

Das heißt, dass zu${\displaystyle {}P\in U}$ die Diagramme

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,P}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}_{P}&{\stackrel {\varphi _{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}_{P}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

kommutativ sind.

Beweis  

Es sei${\displaystyle {}s\in {\mathcal {F}}_{P}}$.Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung${\displaystyle {}U}$, ${\displaystyle {}P\in U\subseteq X}$,und ein${\displaystyle {}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}}$mit${\displaystyle {}\rho _{U,P}(s)=s_{P}}$gibt. Wir setzen

${\displaystyle {}\varphi _{P}(s):=\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))\,}$

an und müssen zeigen, dass dies wohldefiniert, also unabhängig vom gewählten Repräsentanten ${\displaystyle {}s}$ (und ${\displaystyle {}U}$)ist. Sei${\displaystyle {}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}}$ein weiterer Repräsentant. Wegen${\displaystyle {}s_{P}=t_{P}}$gibt es eine offene Umgebung

${\displaystyle {}P\in W\subseteq U\cap V\,}$

mit${\displaystyle {}s{|}_{W}=t{|}_{W}}$.Somit ist

${\displaystyle {}\varphi _{U}(s){|}_{W}=\varphi _{W}{\left(s{|}_{W}\right)}=\varphi _{W}{\left(t{|}_{W}\right)}=\varphi _{V}(t){|}_{W}\,}$

und somit ist erst recht

${\displaystyle {}\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))=\rho _{V,P}(\varphi _{V}(t))\,.}$

${\displaystyle \Box }$