Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 12

Die Voraussetzung bedeutet einfach, dass ${\displaystyle {}d'\circ d}$ die Nullabbildung ist. Dann ist insbesondere die globale Auswertung die Nullabbildung.

Dass ein Komplex vorliegt ist klar nachLemma 12.5.Die Exaktheit bedeutet, dass für jeden Punkt${\displaystyle {}P\in X}$der Komplex

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {H}}_{P}}$

der Halme exakt ist. Sei${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}}$und${\displaystyle {}d(s)=0}$in ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}}$. Dann ist${\displaystyle {}d(s)_{P}=0}$ in jedem Punkt und somit ist${\displaystyle {}s_{P}=0}$für jeden Punkt. Also ist${\displaystyle {}s=0}$nachLemma 11.4und die linke Abbildung ist injektiv. Es sei nun${\displaystyle {}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}}$mit${\displaystyle {}d'(t)=0}$in ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}}$. Die Exaktheit in den Halmen bedeutet, dass für jeden Punkt ${\displaystyle {}P}$ der Keim ${\displaystyle {}t_{P}}$ zu ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}_{P}}$ gehört. Daraus folgt mitAufgabe 11.10,dass ${\displaystyle {}t}$ selbst zu ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ gehört.

Wir zeigen zunächst, dass in der Tat durch die Mengen

${\displaystyle {}(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,}$

eine Basis der Topologie vorliegt. Dazu ist zu zeigen, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung von solchen Mengen ist. Es sei also${\displaystyle {}(x,r)\in (U,s)\cap (V,t)}$mit${\displaystyle {}r\in {\mathcal {G}}_{x}}$und${\displaystyle {}s\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}}$bzw.${\displaystyle {}t\in {\mathcal {G}}{\left(V\right)}}$.Hierbei gilt${\displaystyle {}x\in U\cap V}$.Da${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}t}$beide auf ${\displaystyle {}r}$ einschränken, gibt es eine offene Umgebung${\displaystyle {}x\in W\subseteq U\cap V}$,auf der${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}t}$gleich werden. Deshalb gilt

${\displaystyle {}(x,r)\in (W,s)\subseteq (U,s)\cap (V,t)\,.}$

Die Projektion ${\displaystyle {}p}$ ist stetig, da das Urbild von${\displaystyle {}U\subseteq X}$offen gleich ${\displaystyle {}\bigcup _{s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}(U,s)}$ ist. Sei${\displaystyle {}(x,r)\in {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }}$ ein Punkt des Ausbreitungsraumes. Der Keim wird repräsentiert durch einen Schnitt${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}$und somit gilt ${\displaystyle {}(x,r)\in (U,s)}$.Wir behaupten, dass${\displaystyle {}p\colon (U,s)\rightarrow U}$ein Homöomorphismus ist. Die Surjektivität ergibt sich aus ${\displaystyle {}(x,s_{x})\mapsto x}$. Wenn ${\displaystyle {}(x,r)}$ und ${\displaystyle {}(x',r')}$zu ${\displaystyle {}(U,s)}$ gehören und beide auf den gleichen Punkt unter ${\displaystyle {}p}$ abbilden, so ist zunächst${\displaystyle {}x=x'}$und dann auch${\displaystyle {}r=r'}$,da ja beide Keime die Einschränkung von ${\displaystyle {}s}$ sind. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung ergibt sich daraus, dass die offenen Teilmengen von ${\displaystyle {}(U,s)}$ die Form ${\displaystyle {}(U',s{|}_{U'})}$ mit offenen Teilmengen${\displaystyle {}U'\subseteq U}$besitzen und deren Bild gleich ${\displaystyle {}U'}$ ist.

Wir betrachten die natürliche Abbildung

${\displaystyle \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\left\{h:U\rightarrow p^{-1}(U){\text{ stetig}}\mid p\circ h=\operatorname {Id} _{U}\right\}},}$

die einem ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}$die Abbildung

${\displaystyle h\colon U\longrightarrow p^{-1}(U),\,x\longmapsto (x,s_{x}),}$

zuordnet. Die Abbildung ${\displaystyle {}h}$ ist stetig, es liegt eine Homöomorphie zu ${\displaystyle {}(U,s)}$ vor. Die Injektivität der Gesamtabbildung folgt ausLemma 11.4.Zum Nachweis der Surjektivität sei ein stetiges ${\displaystyle {}h}$ gegeben. Es wird also jedem Punkt ${\displaystyle {}x\in U}$ein${\displaystyle {}h(x)\in {\mathcal {G}}_{x}}$in stetiger Weise zugeordnet. Sei${\displaystyle {}x\in U}$und es sei${\displaystyle {}x\in V\subseteq U}$eine offene Umgebung, auf der ${\displaystyle {}h(x)}$ durch den Schnitt ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}}$repräsentiert werde. Dann ist ${\displaystyle {}(V,s)}$ eine offene Umgebung von ${\displaystyle {}(x,h(x))}$ in ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }}$. Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}h}$ ist

${\displaystyle {}U_{x}:=h^{-1}(V,s)={\left\{y\in U\mid h(y)\in V,\,s_{y}=h(y)\right\}}\,}$

offen in ${\displaystyle {}X}$. D.h. dass auf der offenen Umgebung ${\displaystyle {}U_{x}}$ von ${\displaystyle {}x}$ die Abbildung durch einen Schnitt der Garbe über ${\displaystyle {}U_{x}}$ gegeben ist. Die Abbildung ${\displaystyle {}h}$ wird also lokal um jeden Punkt durch einen Garbenschnitt repräsentiert und diese sind zueinander verträglich, da sie ja punktweise durch ${\displaystyle {}h}$ gegeben sind. Aufgrund der Definition einer Garbe rühren diese lokalen Schnitte von einem globalen Garbenschnitt über ${\displaystyle {}U}$ her.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ die riemannsche Fläche und${\displaystyle {}p\colon E\rightarrow X}$der Ausbreitungsraum zur Strukturgarbe. Seien${\displaystyle {}(x,f),(y,g)\in E}$verschiedene Punkte. Bei${\displaystyle {}x\neq y}$kann man direkt die Urbilder von trennenden offenen Mengen von ${\displaystyle {}X}$ nehmen. Es sei also${\displaystyle {}x=y}$und seien also${\displaystyle {}f,g\in {\mathcal {O}}_{X,x}}$verschiedene Keime. Diese seien repräsentiert durch verschiedene holomorphe Funktionen

${\displaystyle f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

auf einer offenen zusammenhängenden Umgebung von ${\displaystyle {}x}$. Dann sind nach dem Identitätssatz in der FormLemma 3.9  (3)auch die Keime von${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$in jedem Punkt${\displaystyle {}y\in U}$verschieden. Daher sind${\displaystyle {}(U,f)}$ und ${\displaystyle {}(U,g)}$trennende offene Umgebungen.

Ein lokaler Homöomorphismus liegt nachLemma 12.9vor, deshalb gibt es eine eindeutige komplexe Struktur auf ${\displaystyle {}E}$ derart, dass ${\displaystyle {}p}$ holomorph wird. Die Hausdorffeigenschaft ist wegenLemma 12.11erfüllt. Die Auswertung entspricht auf der zu ${\displaystyle {}U}$ homöomorphen offenen Menge ${\displaystyle {}(U,f)}$ der holomorphen Funktion ${\displaystyle {}f}$ und ist damit selbst holomorph.